Найти координаты точек А, В, С и векторов ОА, ОВ, ОС A(-1; 3;-6) B(-2;-3; 4) y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k iO I I I В А I I I I I С OB{-2;-3; 4} C( 3;-2; 6) OA{-1; 3;-6} OC{ 3;-2; 6}

Из АОС, = AО + ОС Найдите координаты векторов y x zk i jА В С OA=4 NAC CB,AB,MN,NP,BM,OM,OP.OB=9 OC=2 M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС = –ОA + ОС = –4 i + 2 k AC, AC {-4; 0 ; 2} М РO 4 92

-2f{ } 0,5e{ } -c{ } -3d{ } -2b{ } 3a{ } Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов f(0; 5;- }; d{-2;-3; }; b{-2; 0;1,5}; a {2; 4;-1}; c {2;-5;0}; e {2;-3;8};

–i{ } –k{ } -d{ } –j{ } -b{ } -a{ } d{0; 0; 0}; b{-2; 0;-1}; a {2; 4;-5}; Найти координаты векторов, противоположных данным. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

a +c { } a - c{ } b+d{ } c +e{ } f - d{ } b - d{ } Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов d{-2;-3;-1}; b{-2; 0; 4}; a {2; 4; 3}; c {2;-5; 4}; e {2;-3;-9}; f(0; 5;-3}; c {3; 2;-3}; d{-2;-3;7}; d{-2;-3;-4}; b{-2; 0;-1}; c {3; 2;-9}; a {2; 4;0};

коллинеарныйййми, Два ненулевых вектора называются коллинеарныйййми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. ab c ab ca cb Коллинеарные, сонаправленные векторы oaocob Нулевой вектор Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором.

коллинеарныйййми, Два ненулевых вектора называются коллинеарныйййми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.a b c ba Коллинеарные, противоположно направленные векторы противоположно направленные векторы bc

c {0; 2; }; f{ ;-0,5;3} * * -120 * Замените так, чтобы векторы были коллинеарныййй.* a {2; ; 6}; b{4;-3; } * 12 -1,5 -1,5 Коллинеарны ли векторы b{6;12;16} a {3; 6; 8}; === ab = 2 ab =12 или Векторы и коллинеарныййй.ab

компланарныейми Векторы называются компланарныейми, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c компланарныейми Другими словами, векторы называются компланарныейми, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c b b

Любые два вектора компланарныей. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарныйййх, также компланарныей. Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарныей.ca b c = xa + yb abc Признак компланарности

Компланарны ли векторы и a {2; 6;-3}; b{6;18;-9} 13 === Векторы и коллинеарныййй.ab i Векторы,, компланарныей.abi Компланарны ли векторы и a {2; 4; 3}; b{6;11;-9}; MM Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Значит, эти векторы компланарныей.0=

x z yО A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1)A(x1; y1; z1) B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2)B(x2; y2; z2) Из АОB, = AО + ОB AB = –ОA + ОB –OA{-x 1 ; -y 1 ; -z 1 } OB{x 2 ; y 2 ; z 2 } + АВ Выразим координаты вектора АВ через координаты его начала А и конца В. AB {x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 } OB – OA Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. OA{x 1 ; y 1 ; z 1 } OA{x 1 ; y 1 ; z 1 } OB{x 2 ; y 2 ; z 2 } *

AB{2;-1;-8}BA (3;5;7), (5;4;-1), P C (2;-1;0), (4;-4;2), D (-3;-4;0), R T (-4;0;-4), (0;5;-1), N (3;2;-3), B(5;4;-1) A(3;5;7) – ON{3; 2;-3} Радиус-вектор PC{2;-3; 2} C(4;-4;2) P(2;-1;0) – TR{-4;-5;-3} T(0; 5;-1) R(-4;0;-4) – OD{-3;-4; 0} Радиус-вектор O (0;0;0), O AB ONPC TR OD

Найдите координаты векторовRM{-4;0;2} R(2; 7;1) M(-2;7;3) – R(2;7;1); M(-2;7;3); RM P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD PD{ 0; 6;-6} P(-5; 1;4) D(-5;7;-2) – R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN A(0;3;4); B(-4;0;-3); BA R(-7;7;-6); T(-2;-7;0); RT A(-2;7;5); B(-2;0;-3); AB RN{3; 5;-1} R(-3;0;-2) N(0; 5;-3) – BA{4; 3;7} B(-4;0;-3) A(0; 3;4) – AB{0;-7;-8} A(-2;7;5) B(-2;0;-3) – RT{5;-14;6} R(-7; 7;-6) T(-2;-7;0) –

{ } Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов R(2;7;1); M(-2;7;3); RM P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN A(0;3;4); B(-4;0;-3); BA R(-7;7;-6); T(-2;-7;0); RT A(-2;7;5); B(-2;0;-3); AB { }

B Планиметрия AO C

C (x;y;z) A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1) OA{x 1 ;y 1 ;z 1 } + OA+OB{x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ;z 1 +z 2 } :2 OC Координаты середины отрезка x = ; x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 y = ; x z yО B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2) OB{x 2 ;y 2 ;z 2 } { ; ; } y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 12 (OA+OB) z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 z = 12 (OA+OB) =OC*

A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1)A(x1;y1;z1) x z yО B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2)B(x2;y2;z2) Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. x = ; x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 y = ; Полусумма абсцисс Полусумма ординат C( ; ; ) y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 { ; ; } y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 OC z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 z =z =z =z = Полусумма аппликат * * *

( ; ; ) A(0; 3;-4), B(-2;2;0), B(-2;2;0), середина – точка x = 0+(-2)2 y =y =y =y = M x = ; x1+x2x1+x2x1+x2x1+x22 y1+y2y1+y2y1+y2y1+y22 y = ; Полусумма абсцисс Полусумма ординат z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 z = ; Полусумма аппликат z =z =z =z = ,5-2 = -1 = 2,5 = (a) 424 (a) Найдите координаты середины отрезка

22+(-2) ( ; ; ) C(0; 7; 3) ( ; ; ) ( ; ; ) -5+(-5) C(-5; 4;-3) ( ; ; ); ( ; ; ); C(-1,5;2,5;-4) ( ; ; ); ( ; ; ); 0+(-4) 22 9+(-6) C(-2;-2;1,5) ( ; ; ); ( ; ; ); 7+(-2) C(2,5; 3,5;-2) ( ; ; ); ( ; ; ); -7+(-2) 22 4+(-7) C(-4,5;-1,5;0) 2 3 +(-9) 2 -3+(-5) (-4) Найдите координаты середины отрезков R(2;7;4); M(-2;7;2); C P(-5;1;3); D(-5;7;-9); C R(-3;0;-3); N(0;5;-5); C A(0;-6;9); B(-4;2;-6); C R(-7;4;0); T(-2;-7;0); C A(7;7;0); B(-2;0;-4); C

( ) Найти координаты середин отрезков. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов. R(2;7;4); M(-2;7;2); C P(-5;1;3); D(-5;7;-9); C R(-3;0;-3); N(0;5;-5); C A(0;-6;9); B(-4;2;-6); C R(-7;4;0); T(-2;-7;0); C A(7;7;0); B(-2;0;-4); C

Дано: Найти: A(5; 4; -6); A(5; 4; -6); C(-3; 2; 10) – AB C(-3; 2; 10) – середина отрезка AB B( a ; b;c ) Обратная задача. Обратная задача. x x1x1x1x1 y x2x2x2x2 y1y1y1y1 y2y2y2y2 -3= ; 5 + a 5 + a2 2 = ; 4 + b – 6 = 5 + a a = – 11 4 = 4 + b b = 0 B(-11; 0;26) A(5; 4;-6) C(-3; 2;10) B( a ; b;c ) x = ; x1+x2x1+x2x1+x2x1+x2 2 y1+y2y1+y2y1+y2y1+y2 2 y = ; z1+z2z1+z2z1+z2z1+z22 z =z =z =z = z2z2z2z2 z1z1z1z1 z 10 = -6 + c = -6 + c c = 26

zkzkzkzk y jy jy jy j xixixixi + + y zx= a 2 22 A1A1A1A1 OA 3 = zk OA 1 = xi x z y A2A2A2A2 Вычисление длины вектора по его координатам OA 2 = OA OA OA 3 2 По правилу параллелепипеда OA 2 = OA OA OA 3 2 a a {x;y;z} =x OA 2 = y j = =z y y= a x + + z О A A3A3A3A3*

Расстояние между двумя точками M 1 M 2 {x 2 –x 1 ; y 2 –y 1 ;z 2 –z 1 } – M 1 M 2 = (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 +(z 2 –z 1 ) 2 d =d =d =d = d M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1) x z yО M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2) M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2)M2(x2;y2;z2) M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1)M1(x1;y1;z1) + + y zx= a 2 22* (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 +(z 2 –z 1 ) 2 *

426 (a) 426 (a) Найдите длину вектора АВ A(-1;0;2) B(1;-2;3) A(-1;0;2) и B(1;-2;3) 1 способ 2 способ AB{2;-2;1} – AB = 2 2 +(-2) (1+1) 2 +(–2–0) 2 +(3–2) 2 AB = = 9 1)1)1)1) 2) x 2 + y 2 + z 2 = a (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 +(z 2 –z 1 ) 2 AB = B(1;-2;3) A(-1;0;2) = 3

426 (б) 426 (б) Найдите длину вектора АВ 1 способ 2 способ AB{ 1; 12;-12} – AB = (-12) 2 = (-34+35) 2 +(–5+17) 2 +(8–20) 2 AB = = 289 1)1)1)1)2) x 2 + y 2 + z 2 = a (x 2 –x 1 ) 2 +(y 2 –y 1 ) 2 +(z 2 –z 1 ) 2 AB = = 17 A(-35;-17;20) B(-34;-5;8) A(-35;-17;20) и B(-34;-5;8) A(-35;-17;20) B(-34; -5; 8) 2 способ 2 способ 1 способ 1 способ