1 Тема 6 ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНІСТЬ Кафера інформатики та компютерних технологій доцент Бесклінська О.П.

2 Зміст 1.Виявлення гетероскедастичності та її природа. 2. Тестування наявності гетероскедастичності. 3. Алгоритм для параметричного тесту Гольдфельда-Квандта. 4. Трансформування початкової моделі. 5. Приклад застосування параметричного тесту Гольдфельда-Квандта.

3 Передумови МНК (умови Гаусса Маркова) 1.Математичне сподівання випадкових відхилень ui повинно дорівнювати нулю: М(u i ) = 0, (i=1,n). 2. Дисперсія випадкових відхилень u i має бути сталою величиною: 3. Випадкові відхилення u i та u j, i j мають бути незалежними один від одного.

4 4.Випадкові відхилення повинні бути незалежними від пояснювальних змінних X. 5.Випадкові відхилення u i повинні мати нормальний закон розподілу u i ~ N(0, u). 6.Економетричні моделі мають бути лінійними відносно своїх параметрів.

5 1. Виявлення гетероскедастичності та її природа Розглянемо класичну лінійну багатофакторну модель

6 Означення. Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, то це явище називається гомоскедастичністю: Якщо це припущення не задовольняється в якомусь окремому випадку, то маємо гетероскедастичність (помилки u i некорельовані, але мають несталу дисперсію).

7 Означення. Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, то це явище називається гетероскедастичністю:

8 Сутність припущення про гомоскедастичність полягає в тому, що варіація кожної випадкової складової u i навколо її математичного сподівання не залежить від значення факторів х:

9 Форма гетероскедастичності залежить від знаків і значень коефіцієнтів у залежності

10 Оскільки u i не спостережувана випадкова величина, ми не знаємо справжньої форми гетероскедастичності. В разі простої лінійної регресії гетероскедастичність має форму (kconst, яку потрібно оцінити)

11 Наслідки порушення припущення про гомоскедастичність: Наслідки порушення припущення про гомоскедастичність: Неможливо знайти середньоквадратичне відхилення параметрів Неможливо знайти середньоквадратичне відхилення параметрів Неможливо побудувати довірчий інтервал для прогнозних значень у пр Неможливо побудувати довірчий інтервал для прогнозних значень у пр Отримані за МНК оцінки параметрів регресії не є ефективними (не мають найменшої дисперсії) Отримані за МНК оцінки параметрів регресії не є ефективними (не мають найменшої дисперсії) 1 2 3

12 Тестування наявності гетероскедастичності Критерій Параметричний тест Гольдфельда-Квандта Непараметричний тест Гольдфельда-Квандта Тест Глейзера

13 Алгоритм для параметричного тесту Гольдфельда-Квандта Спостереження (вихідні дані) впорядкувати відповідно до величини елементів вектора Х i, який може викликати зміну дисперсії залишків 1 Відкинути спостережень, які знаходяться в середині векторів вихідних даних (n – кількість елементів вектора x i ) 2

14 Побудувати дві моделі на основі звичайного МНК по двох створених сукупностях спостережень за умови що (де m - кількість змінних) 3

15 Знайти суму квадратів залишків S 1 і S 2 по першій і другій моделях: де u 1 і u 2 - залишки відповідно за першою і другою моделями. 4

16 Розрахувати критерій який при виконанні гіпотези про гомоскедастичність буде відповідати F-розподілу з ступенями свободи 5а

17 Значення критерію R порівняти з табличним значенням F -критерію при вибраному рівні довіри і відповідних ступенях свободи; якщо R F табл, то гетероскедастичність відсутня 5б

18 4. Трансформування початкової моделі. Припустимо, що за статистичними даними побудовано початкову регресійну модель і на базі будь-якого тесту встановлено наявність гетероскедастичності:

19 Для усунення гетероскедастичності початкову модель змінюють (трансформують) так, щоб помилки мали сталу дисперсію: Трансформація моделі зводиться до зміни початкової форми моделі методом, який залежить від специфічної форми гетероскедастичності, тобто від форми залежності між дисперсіями залишків і значеннями незалежних змінних:

20 Нехай початкова модель де компоненти випадкового вектора и гетероскедастичні, але відповідають іншим класичним припущенням лінійної регресії. Припустимо, що гетероскедастичність має форму Трансформація моделі здійснюється діленням її на

21 5. Приклад застосування параметричного тесту Гольдфельда- Квандта (1965) Приклад. Перевірити гіпотезу про відсутність гетероскедастичності для побудови моделі, яка характеризує залежність заощаджень від доходів населення. Статистичні дані наведено в таблиці.

22

23 Розв'язання. Ідентифікуємо змінні: у заощадження, х дохід. Специфікуємо модель у вигляді:

24 1-й крок: спостереження впорядкуємо відповідно до величини елементів вектора х i, який може викликати зміну дисперсії залишків. 2-й крок: відкинемо с спостережень усередині вектора вихідних даних, де Отримаємо дві сукупності спостережень обсягом (18-4)/2=7

25 3-й крок: побудуємо дві моделі на основі звичайного МНК по двох створених сукупностях спостережень

26 4-й крок: знайдемо суму квадратів залишків S 1 і S 2 по першій і другій моделях:

27 S1S1 S2S2

28 5-й крок: 5а) розрахуємо критерій який при виконанні гіпотези про гомоскедастичність буде відповідати F-розподілу з

29 5б) значення критерію R порівняємо з табличним значенням F-критерію при рівні довіри =0,05 і відповідних ступенях свободи: Оскільки R F табл., то гетероскедастичність відсутня. Отже МНК-оцінки параметрів регресійної моделі можуть застосовуватися для подальших досліджень

30 Завідання для самостійної роботи Лугінін О.Є. стор Критерій μ (Зробити конспект)