Материал к урокам алгебры в 8 классе по теме: Квадратные уравнения. Их решение по формуле.

Вступление. Данная работа может быть использована на обобщающем уроке по теме «Решение квадратных уравнений»с целью повторения и обобщения изученного материала Отдельные части работы могут быть использованы и на обучающих уроках или во внеклассной работе с целью ознакомления с дополнительными сведениями.

Содержание: Теоретический материал Примеры решения квадратных уравнений по формуле Примеры решения квадратных уравнений по формуле Проверим знания (тест) Кроссворд Это интересно (дополнительные сведения о решении квадратных уравнений) Это интересно (дополнительные сведения о решении квадратных уравнений) Из истории решения квадратных уравнений Проверь себя (решение квадратного уравнения при помощи языка программирования) Проверь себя (решение квадратного уравнения при помощи языка программирования) Использованная литература

Теоретические сведения Определение квадратного уравнения Примеры квадратных уравнений. Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле

Определение квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х – переменная, а,в,с – некоторые числа, причем а 0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением.

Примеры квадратных уравнений: Например: а) –х²+6 х+1,2=0, где а=-1, в=6, с=1,2; б) 5 х²-2=0 – неполное квадратное уравнение, где а=5, в=0, с=-2; в) -3 х²+7 х=0 - неполное квадратное уравнение, где а=-3, в=7, с=0; г) 7 х²=0 - неполное квадратное уравнение, где а=7, в=0, с=0; д) х²+4 х-12=0 – приведенное квадратное уравнение, где а=1, в=4, с=-12.

Алгоритм решения квадратного уравнения: ах²+вх+с=0 Определить коэффициенты а,в,с Если D<0, то Вычислить дискриминант D=в²-4 ас Если D=0, то 2 корня Если D>0, то 1 корень Уравнение не имеет корней

Примеры решения квадратных уравнений по формуле Пример 1: 3 х²+11 х+6=0 а=3; в=11;с=6. D=11²-4*3*6=121-72=49>0 – уравнение имеет 2 корня

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 2. 9 х²-6 х+1=0 а=9; в=-11;с=1. D=(-6)²-4*9*1=36-36=0=0 – уравнение имеет 1 корень. Х=

Примеры решения квадратных уравнений по формуле: Пример 3: -2 х²+3 х-5=0 а=-2; в=3;с=-5. D=3²-4*(-2)*5=9-40=-31<0 – уравнение не имеет корней.

Тест Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения. Тест 1. Установить, истинны или ложны утверждения. Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных. Тест 2. Установить верный ответ из числа предложенных.

Тест 1. Установите, истинны или ложны следующие утверждения : Ответы давать : да или нет. Время для выполнения – 10 минут. Указание: не выполнять задания 8 и 9. Текст теста:

Тест 2. Выбрать правильный ответ из предложенных вариантов: Время для выполнения – 15 минут. Указание: не выполнять задания 6 и 7. Текст теста:

Кроссворд 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2. Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме

Это интересно (дополнительные сведения о нахождении корней квадратного уравнения в особых случаях): 1 случай. Если a+b+c=0, то х 1=1; х 2= с/а 2 случай. Если a-b+c=0, то х 1=-1; х 2= -с/а Нахождение корней приведенного квадратного уравнения: х²+px+q=0. здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:

Стихотворение для запоминания формулы «Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Из истории решения квадратных уравнений. Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Например.Евклид Например.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Брахмагупте Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации. См.подробнее.ал-Хорезми См.подробнее. Из истории решения квадратных уравнений.

Вывод формулы корней квадратного уравнения ал-Хорезми: Суть его рассуждений видна из рисунка (рассматривается решение уравнения х²+10 х=39. Площадь большого квадрата равна (х+5)². Она складывается из площади х²+10 х фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом, (х+5)²=39+25; х 1=3; х 2=-13. х²х² 5 х/2

Задача из китайского трактата «Математика в девяти книгах»(примерно II в.до н.э.) «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу(1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Решение смотри здесь:

Решение задачи о границах города: Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см.рис.) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d. Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х 2+(k+l)-2kd=0. В данном случае уравнение имеет вид х 2+34 х-71000=0, откуда х=25000 бу. Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами. l В АС ЕД х d

Брахмагупт(около г.г.) Индийский математик и астроном. Основное сочинение «Усовершенствованное учение Брахмы» («Брахмаспхутасиддханта», 628 г.), значительная часть которого посвящена арифметике и алгебре. Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Диофант Александрийский (около 3 в.). Древнегреческий математик. В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13), дал решение задач, приводящихся к т.н. диофантовым уравнениям, и впервые ввел буквенную символику в алгебру.

Евклид (3 в. До н.э.) Древнегреческий математик, работал в Александрии. Лавный труд «Начала»(15 книг), содержит основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, оказал огромное влияние на развитие математики.

Аль-Хорезми. Наибольших успехов в математике достиг согдиец Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (то есть, родом из Хорезма - с берегов Сыр-Дарьи). Он работал в первой половине 9 века и был любимцем ученейшего из халифов - Маамуна (сына знаменитого Гаруна ар-Рашида). Главная книга Хорезми названа скромно: "Учение о переносах и сокращениях", то есть техника решения алгебраических уравнений. По-арабски это звучит "Ильм аль-джебр ва"ль-мукабала"; отсюда произошло наше слово "алгебра". Другое известное слово - "алгоритм", то есть четкое правило решения задач определенного типа - произошло от прозвания "аль-Хорезми". Третий известный термин, введенный в математику знаменитым согдийцем - это "синус", хотя в этом деле не обошлось без курьеза. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: «Квадраты равны корням», т. е. ах 2 = bх. «Квадраты равны числу», т. е. ах 2 = с. «Корни равны числу», т. е. ах = с. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах 2 + с = bх. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах 2 + bх =с. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах 2. Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно,не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Ответы к кроссворду: 1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ