Виконали: Крилова Д. Власова К. ТЗ-12 б ОНАХТ 2011

1. Задачі, що призводять до поняття визначеного інтегралу. 2. Властивості в.і. 3. Площа криволінійної трапеції. 4. Наближене обчислення інтегралів. 5. Формула Ньютона-Лейбниця. 6. Методи інтегрального обчислення. 7. Невласний інтеграл. 8. Обчислення площин фігур. 9. Довжина дуги. 10. Обєм тіла обертання.

Нехай задана функція f(x) на проміжку [a;b]. Поділимо на n-частин точками такими, що. Розглянемо довільний відрізок. На цьому відрізку виберемо. Розглянемо.Розглянемо Якщо є скінченим числом, то це число називається визначеним інтегралом від f(x) на [a;b], та позначається

Якщо існує кінцевий, не залежний від способа розбиття відрізка [a;b] на частини, та від вибору точок, то ця границя називається визначеним інтегралом функції f(x) на відрізку [a;b] і позначається

Якщо функція неперервна на проміжку, то існує і скінченна, тобто існує і скінчений

З геометричної точки зору за умови дорівнює площі криволінійної трапеції

У=f(x) 0 x y Розвяжемо задачу про обчислення площі фігури, обмеженої графіком функції відрізками прямих і віссю Ox. Таку фігуру називають криволінійною трапецією

ba, Розіб'ємо відрізок наn частин точками bxxxxxxa nii,...,,,, При цьому криволінійна трапеція розіб'ється на n елементарних криволінійних трапецій. Замінимо кожну таку криволінійну трапецію прямокутником з основою 1 iii xxx, де ni,..,2,1 і основою i xfh, де i x - довільно обрана всередині відрізка ii xx, 1 точка.

0 x y В С A b x5x5 x6x6 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x7x7 x0x0 xnxn

Не всі інтеграли піддаються обчисленню. Виконується наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій, а також формула Сімпсона: де

Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників. Ця наближена формула і називається формулою прямокутників. Зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через то

Методи інтегрального обчислення

У випадку п араметричного з авдання к ривої, площу фігури, яка обмежена прямими, віссю Ох і кривою обчислюють за формулою де межі інтегрування визначають з рівнянь.

Площу полярного сектору обчислюють за формулою : β α

Знайти площу еліпса. Параметричні рівняння еліпса у х

Якщо крива задана параметричними рівняннями,, то довжина її дуги, де – значення параметру, що відповідають кінцям дуги. Обчислення довжини дуги

Якщо крива задана рівнянням, то, де a, b–абсциси початку і кінця дуги. Якщо крива задана рівнянням, то, де c, d–координати початку і кінця дуги Довжина дуги в декартових координатах

Якщо крива задана рівнянням в полярних координатах, то, де –значення полярного кута, що відповідають кінцям дуги. Довжина дуги в полярних координатах

Нехай тіло утворюється при обертанні навколо осі OX криволінійної трапеції x 1 ABx 2 Будь-який переріз цього тіла площиною, перпендикулярною до осі Ox буде круг, радіус якого дорівнює відповідній ординаті точки кривої Y=f(x) Площа перерізу S(x) рівна y 2, т.е. S(x)= f 2 (x) Об'єм тіла обертання може бути вичислений по формулі Об'єм тіла обертання

ЗАДАЧА Обчислити об'єм кулі, що отримується обертанням півкола навколо осі OX Побудуємо півколо yX R -R R При обертанні цього півкола навколо OX виходить сфера, що обмежує кулю. Об'єм кулі знайдемо за формулою Відповідь: Об'єм кулі (куб.од.)