Готовимся к ЕГЭ. Задача С2. Угол между прямой и плоскостью. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Определение. Пример α l перпендикуляр проекция Поэтапно – вычислительный метод. Из любой точки прямой l опустить перпендикуляр на плоскость α. Найти угол между прямой и ее проекцией на плоскость. φ А Н С

B Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле α l Векторно – координатный метод. С где - направляющий вектор прямой l, - вектор нормали к плоскости α. Координаты вектора нормали можно определить если построен перпендикуляр к плоскости α или составив уравнение плоскости α ax+by+cz+d=0. Тогда координаты вектора нормали: А Пример

Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является равнобедренный треугольник. BC=BA=5, AC=8. Высота призмы равна 3. Найдите угол между прямой B 1 A и плоскостью A 1 AC. Д.п. B 1 H C 1 A 1 => Ильичева Светлана B1B1 C C1C1 A1A1 A B H Решение: п-рп-р п-яп-я н-я B 1 H (A 1 AC) ( перпендикуляр, опущенный на пересечение перпендикулярных плоскостей ) Тогда АН – проекция прямой В 1 А на (А 1 АС), Искомый угол найдем из треугольника В 1 НА Назад

В единичном кубе ABCDA B C D найти угол между пря- мой CD 1 и плоскостью AB 1 D 1. Решение: С В D D1D1 В1В1 С А1А1 А Назад X Y Z Введем прямоугольную систему координат Тогда: Запишем уравнение плоскости AB 1 D 1 - вектор нормали (AB 1 D 1 )

В единичном кубе ABCDA B C D найти угол между пря- мой CD 1 и плоскостью AB 1 D 1. Решение: С В D D1D1 В1В1 С А1А1 А Назад X Y Z - вектор нормали (AB 1 D 1 ) -радиус вектор (направляющий вектор прямой СD 1 )

2) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB=3, SA=7, точка E середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD (ЕГЭ 2011) )В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=2, AD=AA 1 =1. Найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1 (ЕГЭ 2011). Тренировочные упражнения Решение 3) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой B 1 F 1 и плоскостью AF 1 С 1. Решение

Тренировочные упражнения Решение 4) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB=,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС (ЕГЭ 2010). Решение 5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, у которого AB=4, BC=6, CC 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA 1 и D 1 C 1 (координатный метод). 5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, у которого AB=4, BC=6, CC 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA 1 и D 1 C 1 (поэтапно – вычислительный метод). Решение

1) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=2, AD=AA 1 =1. Найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1. BA C1C1 D1D1 B1B1 A1A1 C D E (ABC 1 ) (BCC 1 ) Д.п. B 1 E BC 1, => Жолобова Анна Решение: =>AE – проекция АВ 1 на (ABC 1 ) (перпендикуляр, опущенный на пересечение перпендикулярных плоскостей) B 1 E (ABC 1 ) Задачи Искомый угол найдем из треугольника АВ 1 Е (половина диагонали единичного квадрата) AB (BCC 1 ) AB (ABC 1 )

1) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB=2, AD=AA 1 =1. Найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1. BA C1C1 D1D1 B1B1 A1A1 C E Жолобова Анна Решение: Задачи E A B1B1 Ответ:

Решение: А D В С S О E 2) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB=3, SA=7, точка E середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD. Задачи (половина диагонали квадрата) СО (SBD) Угол СОЕ можно найти из треугольника ЕСО. (медиана прямоугольного треугольника SOB проведенная к гипотенузе) ЕО – проекция СЕ на (SBD)

Решение: А D В С S О E 2) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, в которой AB=3, SA=7, точка E середина ребра SB. Найдите угол между прямой CE и плоскостью SBD. Задачи О E С

Решение: 3) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой B 1 F 1 и плоскостью AF 1 С 1. Построим сечение призмы плоскостью АF 1 C 1. (AF 1 C 1 ) проходит через F 1 C 1 Д. п.: F 1 H – проекция F 1 B 1 на (AF 1 C 1 ) B A A1A1 C C1C1 D1D1 D E F E1E1 F1F1 H E Задачи B1B1

B A A1A1 C C1C1 D1D1 D E F E1E1 Решение: 3) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой B 1 F 1 и плоскостью AF 1 С 1. B1B1 F1F1 H E Угол B 1 FH можно найти из прямоугольного треугольника B 1 F 1 H. EB1B1 B H Задачи

B A A1A1 C C1C1 D1D1 D E F E1E1 Решение: 3) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сторона основания равна 3, а высота равна 1. Найдите угол между прямой B 1 F 1 и плоскостью AF 1 С 1. B1B1 F1F1 H E B1B1 Н F1F1 Задачи

А В С S K H 4) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB=,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС. M Решение: Угол KMH можно найти из прямоугольного треугольника KMA. (ABC) проходит через BC MH – проекция MK на (ABC) Д. п.: Задачи

А В С S K H 4) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB=,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС. M Решение: МК – медиана треугольника MSA => Задачи

А В С S K H 4) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB=,SC=29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС. M Решение: Задачи

Решение: Задачи B A C1C1 D1D1 B1B1 A1A1 C 5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, у которого AB=4, BC=6, CC 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA 1 и D 1 C 1. D Е F X Y Z Введем прямоугольную систему координат Тогда: (направляющий вектор прямой EF)

Решение: Задачи 5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, у которого AB=4, BC=6, CC 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA 1 и D 1 C 1.

Решение: (перпендикуляр, опущенный на пересечение перпендикулярных плоскостей) => АН – проекция EF на (ABC) Задачи А С D D1D1 В1В1 Е В А1А1 С Д. п.: F H K Треугольники КЕА и КFH подобны Из треугольника DAH:

5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 В 1 С 1 D 1, у которого AB=4, BC=6, CC 1 =4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA 1 и D 1 C 1. Решение: Задачи А С D D1D1 В1В1 Е В А1А1 С F H K K H F

При создании презентации использовано пособие: