Решение задач 19 Проценты Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Для справки В некоторых задачах можно использовать формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии: где b 1 = 1, q = 1 + a

1 Степан хочет взять в кредит 1,2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Сумма кредита:1,2 млн. руб.100% Сумма кредита после 1 года:х 1 млн. руб.110% х 1 = 1,2 110 : 100 = 1,2 1,1 = 1,32 млн. руб. После первого платежа в 0,29 млн. руб. остаток составит: 1,32 – 0,29 = 1,03 млн. руб. Остаток кредита:1,03 млн. руб.100% Сумма кредита после 2 года:х 2 млн. руб.110% х 2 = 1,03 1,1 = 1,133 млн. руб. После второго платежа в 0,29 млн. руб. остаток составит: 1,133 – 0,29 = 0,843 млн. руб.

1 Степан хочет взять в кредит 1,2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Остаток кредита:0,843 млн. руб.100% Сумма кредита после 3 года:х 3 млн. руб.110% х 3 = 0,843 1,1 = 0,9273 млн. руб. После третьего платежа в 0,29 млн. руб. остаток составит: 0,9273 – 0,29 = 0,6373 млн. руб. Остаток кредита:0,6373 млн. руб.100% Сумма кредита после 4 года:х 4 млн. руб.110% х 4 = 0,6373 1,1 = 0,70103 млн. руб. После четвертого платежа в 0,29 млн. руб. остаток составит: 0,70103 – 0,29 = 0,41103 млн. руб.

1 Степан хочет взять в кредит 1,2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Остаток кредита:0,41103 млн. руб.100% Сумма кредита после 5 года:х 5 млн. руб.110% х 5 = 0, ,1 = 0, млн. руб. После пятого платежа в 0,29 млн. руб. остаток составит: 0, – 0,29 = 0, млн. руб. Остаток кредита:0, млн. руб.100% Сумма кредита после 6 года:х 6 млн. руб.110% х 6 = 0, ,1 = 0, млн. руб. Шестого платежа достаточно для погашения кредита полностью. Ответ: 6.

2 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), за- тем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? года)? Решение. Рубли % Сумма кредита:4,29 млн. руб.100% Сумма кредита после 1 года:? млн. руб.114,5% ? = 4,29 1,145 млн. руб. После первого платежа в Х млн. руб. остаток составит: (4,29 1,145 – Х) млн. руб. Остаток кредита:(4,29 1,145 – Х) млн. руб.100% Сумма кредита после 2 года:? млн. руб.114,5% ? = (4,29 1,145 – Х) 1,145 млн. руб. Это и есть второй платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: (4,29 1,145 – Х) 1,145 = Х млн. руб.

2 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), за- тем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)? года)? Решение. (4,29 1,145 – Х) 1,145 = Х 4,29 1,145 2 – 1,145 Х = Х 4,29 1,145 2 = (1, ) Х Х = 4,29 1,145 2 : (1, ) Х = 4,29 : (1, ) 1,145 2 Х = 2 1,145 2 Х = 2,62205 Ответ: руб.

3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая-31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Рубли % Сумма кредита: руб.100% Сумма кредита после 1 года:? руб.112,5% ? = ,125 руб. После первого платежа в Х руб. остаток составит: ( ,125 – Х) руб. Остаток кредита:( ,125 – Х) руб.100% Сумма кредита после 2 года:? руб.112,5% ? = ( ,125 – Х) 1,125 руб.

3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая-31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Рубли % Остаток кредита: ( ,125 – Х) 1,125 руб.100% Сумма кредита после 3 года:? руб.112,5% ? = ,125 руб. После третьего платежа в Х руб. остаток составит: (( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 руб. Это и есть третий платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: (( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 = Х

3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая-31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. (( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 = Х ( ,125 2 – 1,125 Х – Х) 1,125 = Х ,125 3 – 1,125 2 Х – 1,125 Х = Х ,125 3 = 1,125 2 Х + 1,125 Х + Х ,125 3 = (1, , ) Х Х = ,125 3 : (1, , ) ,125 3 Х = 1, , Х = Ответ: руб.

4 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Решение. Рубли % Сумма кредита: руб.100% Сумма кредита после 1 года:? руб.112,5% ? = ,125 руб. После первого платежа в Х руб. остаток составит: ( ,125 – Х) руб. Остаток кредита:( ,125 – Х) руб.100% Сумма кредита после 2 года:? руб.112,5% ? = ( ,125 – Х) 1,125 руб.

4 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Рубли % Остаток кредита: ( ,125 – Х) 1,125 руб.100% Сумма кредита после 3 года:? руб.112,5% ? = ,125 руб. После третьего платежа в Х руб. остаток составит: (( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 руб. Остаток кредита: (( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 руб.100% Сумма кредита после 4 года: ? руб. 112,5% ? = ((( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 руб.

4 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Это и есть четвертый платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: ((( ,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 – Х) 1,125 = Х (( ,125 2 – 1,125 Х – Х) 1,125 – Х) 1,125 = Х ( ,125 3 – 1,125 2 Х – 1,125 Х – Х) 1,125 = Х ,125 4 – 1,125 3 Х – 1,125 2 Х – 1,125 Х = Х Х = ,125 4 : ( 1, , , ) Ответ: руб. Х = , , , , Х =

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. два года Рассмотрим кредит на два года: Рубли % Сумма кредита:x руб.100% Сумма кредита после 1 года:? руб.100+a% ? = х (100 + а) : 100 = х (1 + 0,01 а) руб. После первого платежа в руб. остаток составит: (х (1 + 0,01 а) – ) руб. Остаток кредита:(х (1 + 0,01 а) – ) руб.100% Сумма кредита после 2 года:? руб.100+а% ? = (х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) руб. Это и есть второй платеж в руб. Получим первое уравнение: = (х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а)

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. четыре года Рассмотрим кредит на четыре года: Рубли % Сумма кредита:x руб.100% Сумма кредита после 1 года:? руб.100+a% ? = х (100 + а) : 100 = х (1 + 0,01 а) руб. После первого платежа в руб. остаток составит: (х (1 + 0,01 а) – ) руб. Остаток кредита:(х (1 + 0,01 а) – ) руб.100% Сумма кредита после 2 года:? руб.100+а% ? = (х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) руб. После второго платежа в руб. остаток составит: ((х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) – ) руб.

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. четыре года Рассмотрим кредит на четыре года: Рубли % Остаток кредита: ((х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) – ) руб.100% Сумма кредита после 3 года:? руб. 100+a% ? = ((х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) руб. После третьего платежа в руб. остаток составит: (((х (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) – ) (1 + 0,01 а) – ) руб. Остаток кредита: ((х(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– руб. 100% Сумма кредита после 4 года:? руб. 100+а% ? = (((х(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– )(1+0,01 а) руб. Это и есть четвертый платеж в руб. Получим второе уравнение: =(((х(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)– )(1+0,01 а)

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Пусть ( 1 + 0,01 а ) = у, тогда система примет вид:

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение.

5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу- дет платить каждый год по рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Ответ: 10%.

6 31 декабря 2014 года Игорь взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого сле- дующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 580 тыс. рублей, во второй 621,5 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю? Решение. два года Рассмотрим кредит на два года: Рубли % Сумма кредита:1 млн. руб.100% Сумма кредита после 1 года:? млн. руб.100+a% ? = 1 (100 + а) : 100 = 1 + 0,01 а руб. После первого платежа в руб. остаток составит: (1 + 0,01 а – 0,58) руб. Остаток кредита: (1 + 0,01 а – 0,58) руб.100% Сумма кредита после 2 года:? руб.100+а% ? = (1 + 0,01 а – 0,58) (1 + 0,01 а) руб. Это и есть второй платеж в руб. Получим уравнение: 0,6215 = (1 + 0,01 а – 0,58) (1 + 0,01 а)

6 31 декабря 2014 года Игорь взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого сле- дующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 580 тыс. рублей, во второй 621,5 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю? Решение. 0,6215 = (1 + 0,01 а – 0,58) (1 + 0,01 а) Пусть ( 1 + 0,01 а ) = у, у > 0; тогда уравнение примет вид: 0,6215 = (у – 0,58) у у 2 – 0,58 у – 0,6215 = 0 D = 1,68 2 у 1 = 1,13; у 2 < ,01 а = 1,13 а = 13% Ответ: 13%.

Продолжение следует!