Теорема Пифагора

План Введение Биография Пифагора Простейшее доказательство теоремы Древнекитайское доказательство Доказательство Евклида Доказательство теоремы Пифагора Еще одно алгебраическое доказательство Египетский треугольник Заключение Список литературы Авторы

Введение Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота красота значимость. Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Биография Пифагора Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. В юности Пифагор отправляется в Милет, где встречается с ученым Фалесом, который советует ему отправится за знаниями в Египет. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в самосскую колонию. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания, но Пифагор преодолел их все. Научившись всему, что дали ему жрецы, он двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, его захватил в плен царь Вавилона. Вавилонская математика была более развитой, чем египетская, и Пифагору было чему поучится, позже он сбежал на родину. На родине Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства....Прошло 20 лет. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, он поджигает дом Пифагора. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор покончил жизнь самоубийством.

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c²=a²+b²

Простейшее доказательство Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (с него и начиналась теорема). Достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников. Для ABC квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, по 2.

Древнекитайское доказательство Рассмотрим рис.1: а+b - сторона внешнего квадрата, с - сторона внутреннего. Если вырезать внутренний квадрат (рис.1) со стороной с и уложить части его как показано на рис.2, получим: c²=a²+b²

Доказательство Евклида Дано: АВС-прямоугольный, а,b-катеты, с-гипотенуза, ABHF, AGKC, BCED-квадраты Доказать: c²=a²+b² Доказательство: 1. ABD=FBC(по 2-м сторонам и углу м/у ними) BC=BD FB=AB DB А =90 ْ +ABC=FBC 2. SABD =12S BYLD BD- общее основание, LD- общая высота 3. SFBC = 12 S ABFY (аналогично 2) 4. S ABFH = S BYLD, т.к. ABD=FBC 5. S ACKG = S YCEL, т.к. BCK=ACE(аналогично 1-4) 6. b²+a²=c² => c²=a²+b².

Доказательство теоремы Пифагора Дано: треугольник АВС - прямоугольный a, b - катеты с-гипотенуза Доказать: c 2 =a 2 +b 2 Доказательство: 1. (a + b) 2 = 4(1/2ab) + c 2 2. a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 3. a 2 + b 2 = c 2

Еще одно алгебраическое доказательство Дано: АВС – прямоугольный, С=90º Доказать: АС²+СВ²=АВ² Доказательство: 1.CD-высота. 2. cosА=AD/AC=AC/AB =>ADAB=AC² 3. cosB=BD/BC=BC/AB =>ABBD=BC² 4. Получим : ADAB+ABBD=AC²+BC² AB(AD+BD)=AC²+BC² AB²=AC²+BC²

Пифагоровы треугольники Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками: 3, 4 и 5 5, 12 и 13 8, 15 и 17 7, 24 и 25

Египетский треугольник Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, чтобы получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (3²+4 ² =5 ²).

Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

Интернет ресурсы и другие источники gif Пифагор Введение Биография Пифагора Геометрия 7-9 Атанасян Л.С. Доказательство теорем Геометрия 7-11 Погорелов А.В. Доказательство теорем Геометрические рисунки Нарисованы при использовании MO2007 и Paint