Возрастание и убывание функций

Познакомимся на примере с возрастанием и убыванием функции. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10]. Рассмотрим еще один пример. Очевидно, что функция y=x 2 убывает на промежутке (-; 0] и возрастает на промежутке [0;). Видно, что график этой функции при изменении x от - до 0 сначала опускается до нуля, а затем поднимается до бесконечности. Определение. Функция f возрастает на множестве P, если для любых x 1 и x 2 из множества P, таких, что x 2 >x 1, выполнено неравенство f(x 2 ) > f(x 1 ). Определение. Функция f убывает на множестве P, если для любых x 1 и x 2 из множества P, таких, что x 2 >x 1, выполнено неравенство f(x 2 ) < f(x 1 ). Иначе говоря, функция f называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастание и убывание четных функций Для четных функций задача нахождения промежутков возрастания и убывания сильно упрощается. Достаточно всего лишь найти промежутки возрастания и убывания при x0 (см. рисунок внизу). Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке [a;b], где b>a0. Докажем, что эта функция убывает на промежутке [-b; -a]. Действительно, пусть -ax 2 >x 1 -b. Тогда f(-x 2 )=f(x 2 ), f(-x 1 )=f(x 1 ), причем a-x 2 f(-x 2 ), то есть f(x 1 )>f(x 2 ).

Возрастание и убывание функции синус Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-π/2+2πn ; π/2+2πn], n - целое. В силу периодичности функции синуса доказательство достаточно провести для отрезка [-π/2 ; π/2]. Пусть x 2 > x 1. Применим формулу разности синусов и найдем: Из неравенства -π/2 x 1 < x 2 π/2 следует, что и, поэтому и, следовательно и. Это доказывает, что на указанных промежутках синус возрастает. Аналогичным образом легко доказать, что промежутки [π/2+2πn ; 3π/2+2πn], n - целое, являются промежутками убывания функции синуса. Полученный результат можно легко проиллюстрировать с помощью рисунка единичной окружности (см. рисунок ниже). Если -π/2 t 1 < t 2 π/2, то точка P t2 имеет ординату большую, чем точка P t1. Если же π/2 t 1 < t 2 3π/2, то ордината точки P t2 меньше, чем ордината точки P t1.

Возрастание и убывание функции косинус Промежутками возрастания косинуса являются отрезки [-π+2πn ; 2πn], n - целое. Промежутками убывания косинуса являются отрезки [2πn ; π + 2πn], n - целое. Доказательство этих утверждений можно провести аналогично доказательству для синуса. Однако, проще воспользоваться формулой приведения cos(x) = sin(x + π/2), из которой сразу следует, что промежутками возрастания косинуса являются промежутки возрастания синуса, сдвинутые на π/2 влево. Аналогичное утверждение можно сделать и для промежутков убывания.

Упражнение 82 а

Упражнение 82 б

Упражнение 82 в

Упражнение 82 г

Упражнение 83 а

Упражнение 83 в

Упражнение 77,78

Автор: Сабитова Файруза Рифовна учитель математики 1 квалификационной категории