РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ (2 часа) ПРИЛОЖЕНИЕ К УРОКУ ПО АЛГЕБРЕ В 10 КЛАССЕ. (ГЛАВА I, § 4)

Классная работа. Решение задач на построение сечений.

КАКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ИЛЛЮСТРИРУЮТ СЛЕДУЮЩИЕ РИСУНКИ ? B А 1)1) b a 2)2) b a 3)3) C B А 4)4) a M 5)5) 6)6)

b a 8) C 7) a b 9)

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ. C B А a M b a n m

СКОЛЬКО ПЛОСКОСТЕЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ЧЕРЕЗ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУБА? а) б) в) г) д) е)

ЧЕРЕЗ ВЫДЕЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУБА МОЖНО ПРОВЕСТИ ОДНУ ПЛОСКОСТЬ НА КАЖДОМ РИСУНКЕ. (ОКРАШЕНА СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ГРАНЬ) а) б) в) г) д) е)

Задача. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Точки M, N и F соответственно середины сторон А 1 В 1, В 1 С 1, и DC. 2) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MNF и DCC 1. 3) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MNF и АВС.MNF и АВС (Обозначьте буквой Р точку пересечения полученной прямой с прямой AD) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 М N F P K 4) Определите вид четырехугольника MNFР. 1) Постройте точку К точку пересечения прямых MN и D 1 C 1.

ЕСЛИ ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПЕРЕСЕЧЕНЫ ТРЕТЬЕЙ, ТО ЛИНИИ ИХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ a b

Понятие сечения многогранника плоскостью. А В С D А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 1. Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. 2. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда).

А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 3. Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.параллельны. Для построения сечения достаточно 1) построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), 2) провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной грани.

А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 М N F P K Является ли четырехугольник MNFР сечением параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ? сечением параллелепипеда 1) Какие из отрезков MN, NF, FP и MP являются сторонами сечения? 2) В какой плоскости лежит прямая MN ? 3) В какой плоскости лежит прямая FP? 4) В какой плоскости лежит построенная нами прямая FK? (Обозначьте буквой Е точку пересечения этой прямой с ребром СС 1.) Е 5) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и BCC 1 ? 6) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и DAA 1 ? L (Обозначьте буквой L точку пересечения этой прямой с ребром АА 1.) 7) По какой прямой будут пересекаться плоскости MNF и АВВ 1 ?

N P M Рассмотрим пример построения сечения тетраэдра плоскостью Задача. На ребрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. А В С D N P M F Q А В С D Е Q

Задача 72(а). Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости грани АВС, если точка М является серединой ребра AD ? Рассмотрим две пресекающиеся прямые в плоскости АВС: АВ и АС. Точка М принадлежит линии пересечения двух плоскостей ADB и ADC. Построим прямые MN и MK, которые: 1) Проходят через точку М, 2) Лежат в этих плоскостях, 3) Параллельны прямым AB и AC. А В С D M Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.признак параллельности двух плоскостей. Тогда MN и MK- средние линии в треугольниках ADB и ADC. Каково взаимное расположение прямых NK и BC ? Получили искомое сечение MNK N K

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Задача 73. В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BС и CD, АС=10 см, ВD=12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP. А D В С Является четырехугольник MNPK сечением тетраэдра ? Отрезок MN является стороной сечения. MN || АС как средняя линия треугольника АВС. Значит MN параллельна линии пересечения плоскостей ADC и MNP. MN || КР. Отрезок КР является стороной сечения. Точки Р и N лежат на ребрах грани ADC, значит отрезок NР является стороной сечения. Аналогично отрезок MК является стороной сечения. Построим сечение по условию задачи Четырехугольник MNPK искомое сечение. К Р М N

Вспомним теорему о плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости и пересекающей эту плоскость теорему о плоскости, проходящей через прямую параллельную другой плоскости и пересекающей эту плоскость

Задача 73. В тетраэдре ABCD точки M, N и P являются серединами ребер AB, BС и CD, АС=10 см, ВD=12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP. Докажите, что точка К – середина ребра AD. Определите вид четырехугольника MNPK. Как найти его периметр ? К М N Р С А D В

Найдем периметр параллелограмма MNPK. Ответ:

Задача 75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, MA и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см 2. L M K N б) Плоскость EOF пересекает грань LNM по отрезку ЕО, ЕО || LА так как по условию ЕО средняя линия треугольника LАM. значит. По признаку параллельности плоскостей плоскости EOF и LАК параллельны.параллельны. Треугольник EOF – сечение тетраэдра KLMN плоскостью EOF Треугольники EOF и LAK подобны. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Аналогично FО || КА. A O F E

РЕШЕНИЕ. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит Ответ:

Задача 79. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение: а) плоскостью ABC 1 ; б) плоскостью ACC 1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 a) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 б)б)

Плоскости АВС 1 и АСС 1 имеют две общие точки А и С 1. По аксиоме А – 3 они пересекаются по прямой АС 1. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1

ММ М Задача 82. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА 1 В 1 В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD ; б) грани ВВ 1 C 1 С ; в) плоскости ВDD 1. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 а) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 б) А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 в)в)

Задача 84. Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В 1, D 1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение – трапеция. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 К М Плоскости A 1 D 1 C 1 и АВС параллельны Значит D 1 B 1 ll МК Прямая МК пересекает прямую СВ в точке К. Искомая плоскость пересекает грани DCC 1 и СВВ 1 по отрезкам D 1 M и В 1 К, а грань АВС по отрезку МК. Получили сечение D 1 MKB 1 Докажите, что построенное сечение является трапецией.

А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 F Задача 87(а). Изобразите параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на ребрах ВВ 1, АА 1 и AD. А1А1 А В С D В1В1 C1C1 D1D1 F K M N а) N M K Р

Домашнее задание. Пункт (Признак параллельности плоскостей, подобие треугольников, отношение площадей подобных треугольников) 80 (смотрите задачу 79) 83 (признак параллельности плоскостей, теорема о прямой параллельной линии пересечения двух плоскостей) 87(б) (смотрите задачу 87(а))