Описанный четырехугольник a Свойство описанного четырехугольника Если четырехугольник ABCD описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = BС + DA. A B CD a d dc c b b Доказательство: AB + CD = (a + b) + (c + d) = = (b + c) + (d + a) = BС + DA Свойство ПризнакДоказательство в общем случае

Описанный четырехугольник Признак описанного четырехугольника Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. 1. Если четырехугольник – параллелограмм, то Доказательство: он является ромбом ( a + a = b + b). А для ромба наше утверждение очевидно. P A В C D 2. Если данный выпуклый четырехугольник – не параллелограмм, то его можно достроить до треугольника. Обозначим четырехугольник через ABCD так, что внутри построенного треугольника проходит сторона BC. a a b b Свойство ПризнакДоказательство в общем случае

что и требовалось доказать. Описанный четырехугольник Либо ED – CD = EС, и тогда EC + BC = BE, Свойство ПризнакДоказательство в общем случае По условию AB + CD = BС + DA. Окружность касается хотя бы одной из сторон AB и CD. Четырехугольник ABED – описанный, поэтому AB + ED = BE + DA. P C D E В любом случае получается противоречие с неравенством треугольника. Следовательно, C = E, Достаточно доказать, что окружность, вписанная в треугольник APD, касается стороны BC. Вычитаем: ED – CD = BE – BC. A В C Допустим, что это не так. Если это, например, сторона AВ, проведем касательную ВE к окружности. M L K (Иначе AB + CD < AK + MD = AL + LD = AD < BC + AD.) В C либо CD – ED = EС, и тогда EC + BE = BC. C