Ймовірність Підготувала Студентка групи БО-12 ВП НУБіП Укпаїни Мукачівський аграний коледж Клепар Руслана

Мета: дізнатись більше про застосування теорії ймовірності та її винайдення. Мета: дізнатись більше про застосування теорії ймовірності та її винайдення.

Майже 400 років тому Галілео Галілей говорив, що філософію написано у грандіозній книзі природі, яка завжди відкрита для всіх і кожного. Проте зрозуміти її може лише той, хто навчився розуміти її мову та знаки, якими її написано. А написано її мате- матичною мовою, а знаки її математичні формули. Справді, створення математичних моделей реальних процесів і явищ важливий етап пізнання світу. У процесі свого розвитку математика збагачувалась видатними досягненнями. Прикладами таких досягнень є створення диферен- ціального та інтегрального числення математичного аналізу, по- будова неевклідової геометрії, розвиток аксіоматичного методу… Майже 400 років тому Галілео Галілей говорив, що філософію написано у грандіозній книзі природі, яка завжди відкрита для всіх і кожного. Проте зрозуміти її може лише той, хто навчився розуміти її мову та знаки, якими її написано. А написано її мате- матичною мовою, а знаки її математичні формули. Справді, створення математичних моделей реальних процесів і явищ важливий етап пізнання світу. У процесі свого розвитку математика збагачувалась видатними досягненнями. Прикладами таких досягнень є створення диферен- ціального та інтегрального числення математичного аналізу, по- будова неевклідової геометрії, розвиток аксіоматичного методу…

До цього переліку, безперечно, належить і теорія ймовірностей. Теорія ймовірностей зародилася в XVIXVII століттях зі спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей виконали Н. Тарталья і Дж. Кардано, згодом ці питання досліджували Г. Галілей, П. Ферма, Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, Р. Декарт. Важливу теорему (закон ве- ликих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, установив Я. Бернуллі. Його результати розвинули А. Муавр і П. Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії ймовірнос- тей мали відкриття П. Л. Чебишова та його учнів А. А. Маркова і О. М. Ляпунова. До цього переліку, безперечно, належить і теорія ймовірностей. Теорія ймовірностей зародилася в XVIXVII століттях зі спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей виконали Н. Тарталья і Дж. Кардано, згодом ці питання досліджували Г. Галілей, П. Ферма, Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, Р. Декарт. Важливу теорему (закон ве- ликих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, установив Я. Бернуллі. Його результати розвинули А. Муавр і П. Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії ймовірнос- тей мали відкриття П. Л. Чебишова та його учнів А. А. Маркова і О. М. Ляпунова. Н. Тарталья

Велике значення для розвитку теорії ймовірностей мали і пра- ці видатних математиків ХХ століття С. Н. Бернштейна, О. Я. Хінчина, А. М. Колмогорова, Б. В. Гнєденко, Р. А. Фішера, Р. Е. та ін. Велике значення для розвитку теорії ймовірностей мали і пра- ці видатних математиків ХХ століття С. Н. Бернштейна, О. Я. Хінчина, А. М. Колмогорова, Б. В. Гнєденко, Р. А. Фішера, Р. Е. та ін. С. Н. Бернштейна О. Я. Хінчина А. М. Колмогорова Б. В. Гнєденко Р. А. Фішера

Нині теорію ймовірностей часто будують на аксіоматичній основі. На сучасному рівні аксіоматичну побудову подав А. М. Колмогоров у 30-тих роках минулого століття. Із теорією ймовірностей тісно повязана математична статистика розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків. Нині теорію ймовірностей часто будують на аксіоматичній основі. На сучасному рівні аксіоматичну побудову подав А. М. Колмогоров у 30-тих роках минулого століття. Із теорією ймовірностей тісно повязана математична статистика розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

Означення ймовірності Означення ймовірності Імовірністю події А називається числова міра обєктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р(А). Імовірністю події А називається числова міра обєктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р(А).

Властивості ймовірності Властивості ймовірності 1. Імовірність достовірної події P(U ) =1. 2. Імовірність неможливої події P(V ) = Ймовірність будь-якої випадкової події 0 < P(A) <1

Класичне означення ймовірності Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір еле- ментарних подій : Класичне означення ймовірності Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір еле- ментарних подій :

Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрі- бно знайти кількість елементарних подій у просторі, а також кількість їх у множині, яка відповідає події А. Для цього застосо- вують формули комбінаторної математики. Щоб обчислити ймовірність події А за цією формулою, потрі- бно знайти кількість елементарних подій у просторі, а також кількість їх у множині, яка відповідає події А. Для цього застосо- вують формули комбінаторної математики. І. Нехай скінченна невпорядкована множина складається із n елементів. Виконаємо такі випробування: І. Нехай скінченна невпорядкована множина складається із n елементів. Виконаємо такі випробування:

1. Упорядкуємо дану множину, пронумерувавши всі її елеме- нти. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне пе- реставлення з n елементів, а кількість можливих переставлень дорівнюватиме !n 1. Упорядкуємо дану множину, пронумерувавши всі її елеме- нти. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне пе- реставлення з n елементів, а кількість можливих переставлень дорівнюватиме !n 2. Розібємо множину на впорядковані підмножини, які містять по m ( m < n) елементів і різняться між собою або порядком, або елементами. Тоді елементарною подією у випробуванні буде дові- льне розміщення з n елементів по m. Кількість таких розміщень 2. Розібємо множину на впорядковані підмножини, які містять по m ( m < n) елементів і різняться між собою або порядком, або елементами. Тоді елементарною подією у випробуванні буде дові- льне розміщення з n елементів по m. Кількість таких розміщень

4. Беремо з множини навмання m елементів з поверненням. Тоді у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень 4. Беремо з множини навмання m елементів з поверненням. Тоді у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень

3. Розібємо множину на невпорядковані підмножини, які міс- тять по m ( ) m < n елементів і різняться між собою принаймні од- ним елементом. Тоді елементарною подією у цьому випробуванні буде комбінація, а кількість таких комбінацій 3. Розібємо множину на невпорядковані підмножини, які міс- тять по m ( ) m < n елементів і різняться між собою принаймні од- ним елементом. Тоді елементарною подією у цьому випробуванні буде комбінація, а кількість таких комбінацій

Геометричне означення ймовірності Геометричне означення ймовірності Якщо простір елементарних подій можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А як частину цього геометричного образу, то ймовір- ність події А визначається як відношення мір цих множин: Якщо простір елементарних подій можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А як частину цього геометричного образу, то ймовір- ність події А визначається як відношення мір цих множин: При цьому вважається, що ймовірність попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини. При цьому вважається, що ймовірність попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичне означення ймовірності Статистичне означення ймовірності Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: Знаходження статистичної ймовірності повязане з проведен- ням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або від- носною частотою, події. Знаходження статистичної ймовірності повязане з проведен- ням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або від- носною частотою, події.

Приклад розвязування задач Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 неста- ндартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стан- дартними. Партія складається з 10 стандартних (С) і 5 неста- ндартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стан- дартними.

Розвязання. Розвязання. Подія А «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 не- стандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елемента- рною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей. Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, роз- глянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 не- стандартні деталі, тобто маємо {С,С, Н, Н, Н}. Виконаємо у групі довільне переставлення, наприклад, {С, Н,С, Н, Н}. Група не змі- нилась у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. От- же, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій. Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності. Загальна кількість елементарних подій Подія А «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 не- стандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елемента- рною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей. Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, роз- глянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 не- стандартні деталі, тобто маємо {С,С, Н, Н, Н}. Виконаємо у групі довільне переставлення, наприклад, {С, Н,С, Н, Н}. Група не змі- нилась у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. От- же, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій. Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності. Загальна кількість елементарних подій Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна вибрати способами, а 2 нестандартні з способами. вибрати способами, а 2 нестандартні з способами.

Отже, Остаточно дістаємо:

Теореми додавання ймовірностей Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді: а) якщо події В і С несумісні, то а) якщо події В і С несумісні, то б) якщо події В і С сумісні, то

Теореми множення ймовірностей Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді: а) якщо події В і С незалежні, то б) якщо події В і С залежні, то. Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

Імовірність настання принаймні однієї події Нехай у Імовірність настання принаймні однієї події Нехай у результаті випробування можуть відбутися n подій, результаті випробування можуть відбутися n подій, Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою А. Тоді про- тилежною буде подія A, яка полягає в тому, що в результаті випробування Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою А. Тоді про- тилежною буде подія A, яка полягає в тому, що в результаті випробування одночасно настали протилежні події: одночасно настали протилежні події: Знайдемо ймовірність події А через імовірність протилежної події: Знайдемо ймовірність події А через імовірність протилежної події:

Партія містить 12 стандартних і чотири нестанда- ртні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей: Партія містить 12 стандартних і чотири нестанда- ртні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей: 1) не менш як дві стандартні; 1) не менш як дві стандартні; 2) усі три нестандартні; 2) усі три нестандартні; 3) принаймні одна стандартна 3) принаймні одна стандартна Приклад розвязання задач

Розвязання. Розвязання. Нехай подія А «серед трьох узятих деталей не менш як дві стандартні». Тоді її можна подати як суму двох подій: «серед трьох узятих деталей дві стандартні і одна нестандартна» і «усі три узяті деталі стандартні». Події і несумісні, тому маємо: Нехай подія А «серед трьох узятих деталей не менш як дві стандартні». Тоді її можна подати як суму двох подій: «серед трьох узятих деталей дві стандартні і одна нестандартна» і «усі три узяті деталі стандартні». Події і несумісні, тому маємо: Імовірності подій і знайдемо згідно з класичним означенням імовірності. Імовірності подій і знайдемо згідно з класичним означенням імовірності. Отже, Отже,

У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою. У теорії ймовірностей випадкову змінну вважають відомою. Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу. Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.математичної статистикиматематичної статистики

Історія виникнення теорії ймовірності Виникнення теорії й Виникнення теорії й мовірностей як науки відносять мовірностей як науки відносять до середніх століть і першим до середніх століть і першим спробам математичного спробам математичного аналізу азартних ігор. Спочатку аналізу азартних ігор. Спочаткуазартних ігоразартних ігор її основні поняття не мали її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних. Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків. строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних. Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.Блез ПаскальП'єр Фермагральних кубиківБлез ПаскальП'єр Фермагральних кубиків

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі ( ). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі ( ). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду.Якоб Бернуллізакон великих чиселЯкоб Бернуллізакон великих чисел

У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров[джерело не вказано 681 день]. Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров[джерело не вказано 681 день]. Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.центральну граничну теоремуланцюгів МарковаАндрій Миколайович Колмогоров[джерело не вказано 681 день]центральну граничну теоремуланцюгів МарковаАндрій Миколайович Колмогоров[джерело не вказано 681 день]

Дякую за увагу