Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В9, В11. Пирамида. В создании презентации принимали участие ученики 10АВ классов. Научный руководитель: Шахова Татьяна Александровна год

Пирамидой называется многогранник, основанием которой является многоугольник, а боковые грани - треугольники, имеющие общую точку. Общая точка является вершиной пирамиды. Краткие теоретические сведения. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми ребрами. Высотой пирамиды является перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания ( SO ).

Правильная пирамида - пирамида, основание которой правильный многоугольник и основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Краткие теоретические сведения. Апофема правильной пирамиды - высота боковой грани, опущенная из вершины ( SH ). H Для правильной пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде SABC R середина ребра BC, S вершина. Известно, что AB=1, а SR=2. Найдите площадь боковой поверхности. Ответ: 3 SR-апофема.Пирамида правильная. 3 Авдеев Саша 10В

В правильной треугольной пирамиде SABC L середина ребра BC, S вершина. Известно, что SL=2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB. Ответ: 5 Маслова Мария 10Б SL медиана р/б треугольника SBC с основанием ВС => высота =>SL – апофема пирамиды по определению.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3,MS=1. Найдите объем пирамиды. 7 A B C М S Гришина Полина 10В В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. М – центр основания (точка пересечения медиан правильного треугольника). Следовательно MS - высота. Ответ: 1

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке O. Объем пирамиды равен 1, OS=1. Найдите площадь треугольника ABC. Ответ: 3 В правильной пирамиде высота проходит через центр основания. О – центр основания (точка пересечения медиан правильного треугольника). Следовательно SO - высота. 8 Талалайкин Саша 10В

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды Ответ: 340 Маслова Мария 10Б

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна. Ответ: 13. H 0,25 Чемерис Виталий 10В

A B C S O ? Ответ: Смирнова Ирина 10А Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен. 14

h Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 4h4h Разделим 2-е на 1-е. Т.е. объем пирамиды увеличится в 4 раза Ответ: 4 15 Авдеев Саша 10В

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. 16 H AH S Гришина Полина 10В Значит диагональ основания =16 A В С 16 Ответ: 256

ASB – основание. СS перпендикулярна прямым SA и SB, лежащим в плоскости ASB. следовательно SC – высота пирамиды. Ответ: 4, 18 Счастьева Анастасия 10А 5 Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. 18

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. H А В С 19 Талалайкин Саша 10В

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. H С Подставим полученные площади и разделим первое на второе. Ответ: 6 19 Талалайкин Саша 10В

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. 20 Чемерис Виталий 10В Площадь основания пирамиды SABC по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды SABCD=> H К H S BK E ЕК – средняя линия треугольника HSB=>

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. 20 Чемерис Виталий 10В H К Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе. Ответ: 3

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. 21 Смирнова Ирина 10А A B C D E F O B A C E F Треугольники АВС и ЕВF подобны k=1/2. => Их площади относятся, как k 2 =1/4.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. 21 Смирнова Ирина 10А A B C D E F O Подставим полученные площади и разделим первое на второе. Ответ:

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 22 Фомина Дарья 10А D A B C E Очевидно, что больший объем имеет пирамида ЕAСB в сравнении с пирамидой DECB. R К Она имеет общее основание с пирамидой DABC. D КA R E 1 2 ADK подобен AER.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Ответ: Фомина Дарья 10А D A B C E R К Подставим в формулы объемов и разделим первое на второе.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза. Шипицин Вячеслав 10А. 24 Ответ: 9 Запомни: при увеличении всех линейных элементов фигуры в k раз ее площадь увеличивается в k 2 раз. В нашей задаче ребра увеличились в три раза, значит площадь увеличилась в девять раз.

Ответ: 60 Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4. Найдем апофему пирамиды SH: 25 АВ С D S O H 6 4 O S H 3 4 Треугольник – египетский: SH=5 Счастьева Анастасия 10А

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза? 26 Чунин Павел 10А Ответ: Запомни: при увеличении всех линейных элементов фигуры в k раз ее площадь увеличивается в k 2 раз. В нашей задаче ребра увеличились в два раза, значит площадь увеличилась в четыре раза. 4

Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. 27 Чунин Павел 10А S NK B L C M A Ответ: 0,25 KM – средняя линия АSС => KM=0,5 В правильном тетраэдре сечение, проходящее через середины четырех его ребер, является квадратом. Запомни!

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание- прямоугольник со сторонами 3 и Ответ: Шипицин Вячеслав 10 А

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды. Ответ: Шкарупина Анна 10А O Итак: сторона основания (квадрата)= Диагональ квадрата=

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды. SO-высота пирамиды Ответ: O В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Основание- правильный шестиугольник Cоставлен из 6 равных р/ст треугольников.а а а Шкарупина Анна 10А

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды. 32 Ответ: Булгаков Ильяс 10А Основание- правильный шестиугольник 48 О o k s o K 4)4) h Cоставлен из 6 равных р/ст треугольников. а 4 4 КС ? SO=OK=h 3) а а 2)

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Достроим многоугольник ABCDEF до прямоугольника АВСК Ответ: Карагяур Лилия, 10 А

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна. Найдите объём пирамиды. Ответ: ) т.к. ABCD-квадрат. 2) Треугольник AOB прямоугольный и р\б. Пусть AO=BO=x => BO=3 3)3) S OB 5 3 h=SO= 4) = Булгаков Ильяс 10А

Спасибо за работу.