Тема 9: Оценка опционов (2 часть) 3. Биноминальная модель оценки стоимости опционов 4. Модель Блэка-Шоулза

3. Биноминальная модель оценки стоимости опционов Для оценки стоимости опциона «колл» или «пут» можно использовать биноминальную модель оценки стоимости опциона (ВОРМ). Лучше всего представить ее на примере европейского опциона (European option), т.е. опциона, который может быть исполнен только в день его истечения. В этом случае мы предполагаем, что по базисной акции не выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона. Модель также можно модифицировать для оценки стоимости американского опциона (American option), т.е. опциона, который можно исполнить в любое время в течение срока действия опциона. Модель также можно использовать для оценки стоимости опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока опционного контракта. Предположим, что цена акции компании Альфа сегодня (t = 0) равна 100 руб., а через год (t = Т) эта акция будет стоить 125 руб. или 80 руб., т.е. цена акции за год или поднимется на 25%, или упадет на 20%. Кроме того, непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год равна 8%. Предполагается, что инвесторы могут предоставлять кредит (покупая 8%-ные облигации) и занимать средства (осуществляя продажи облигаций) под данный процент.

Рассмотрим опцион «колл» на акции компании Альфа с ценой исполнения 100 руб. и датой истечения через год. Это означает, что на дату истечения стоимость опциона «колл» составит или 25 руб. (если акция Альфа стоит 125 руб.), или 0 руб. (если акция Альфа стоит 80 руб.). На рис. 2 данная ситуация представлена с помощью «дерева цены», которое позволяет понять, почему модель называется биноминальной, поскольку оно имеет только две «ветви», которые показывают цены на дату истечения. Рис. 2 - Биноминальная модель оценки стоимости акций компании Альфа

Если надо узнать, чему равна внутренняя (действительная) стоимость опциона в момент времени 0, то для ответа на этот вопрос используется биноминальная модель оценки стоимости опциона. Мы располагаем тремя возможностями делать инвестиции: 1) вложить средства в акцию, 2) опцион и 3) облигацию без риска. Цены и результаты операции с акцией известны. Также известно, что 100 руб. инвестируются в безрисковую облигацию, стоимость которой вырастет приблизительно до 108,33 руб. с учетом непрерывно начисляемого процента (по формуле сложных процентов), равного 8% годовых. Наконец, известны результаты опционной операции в конце периода. Требуется определить цену продажи опциона в настоящий момент. Возможны два варианта развития ситуации в будущем: курс акции может пойти вверх или вниз. Для краткости назовем эти два состояния соответственно «верхнее положение» и «нижнее положение». Основные данные приводятся ниже. Ценная бумага Выплаты в «верхнем положении» Выплаты в «нижнем положении» Текущий курс Акция Облигация 108, Опцион «колл» 250?

В нашей ситуации текущий курс опциона «колл» не известен. Несмотря на то, что опцион «колл» на акции компании Альфа может показаться несколько необычным инструментом, его характеристики можно воспроизвести за счет комбинации акций компании Альфа и безрисковых облигаций. Стоимость воспроизведенного портфеля составляет действительную стоимость опциона. Сначала необходимо определить состав портфеля, который точно повторит выплаты по опциону «колл» на акции компании Альфа. Рассмотрим портфель из Ns акций компании Альфа и Nb безрисковых облигаций. В «верхнем положении» такой портфель принесет выплаты в размере 125 Ns + 108,33 Nb, в «нижнем положении» выплаты составят 80Ns + 108,33Nb. В «верхнем положении» опцион стоит 25 руб. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы: 125 Ns + 108,33 Nb = 25 С другой стороны, в «нижнем положении» опцион ничего не стоит. Таким образом, Ns и Nb должны иметь такую стоимость, чтобы: 80 Ns + 108,33 Nb = 0

В приведенных линейных уравнениях имеются два неизвестных и они могут быть легко определены вычитанием второго уравнения из первого: ( ) Ns = 25 откуда Ns = 0,5556, Nb = - 0,4103. Это значит, что инвестор может воспроизвести платежи по опциону «колл», осуществив продажу безрисковой облигации за 41,03 руб. и купив 0,5556 акций компании Альфа. Что это действительно так, можно увидеть из нижеследующего: Состав портфеля Выплата в «верхнем положении» Выплата в «нижнем положении» Инвестиции в акции 0,5556 х 125=69,450,5556 х 80= 44,45 Выплата займа-41,03 х 1,0833 = -44,45 Чистая выплата 250

Так как воспроизведенный портфель обеспечивает те же выплаты, что и опцион «колл», то для определения действительной стоимости опциона необходимо определить его стоимость. Чтобы сформировать портфель, надо затратить 55,56 руб. на покупку 0,5556 акций компании Альфа (по цене 100 руб. за акцию). Кроме того, 41,03 руб. получается от продажи облигации. Таким образом, требуется только 14,53 руб. (55,56 руб.- 41,03 руб.) собственных средств инвестора. Следовательно, это и есть действительная стоимость опциона «колл». В общем виде, стоимость опциона «колл» будет равна: Vo = NsPs + NbPb, где Vo стоимость опциона, Ps цена акции, Рь цена безрисковой облигации, Ns и Nb - число акций и безрисковых облигаций, позволяющих воспроизвести выплаты по опциону.

Теперь рассмотрим то влияние, которое окажет на стоимость воспроизведенного портфеля изменение курса акций, например, завтра (а не через год). Так как в портфель входит 0,5556 акций, то стоимость портфеля изменится на 0,5556 руб. при изменении курса акций Альфа на 1 руб. Но так как опцион «колл» и портфель должны продаваться по одной цене, то цена опциона «колл» также должна измениться на 0,5556 руб. при изменении курса акции на 1 руб. Данная взаимосвязь называется коэффициентом хеджирования (hedge ratio) опциона. Для опциона «колл» на акции компании Альфа коэффициент хеджирования составлял 0,5556, что равно (25 руб.- 0 руб.)/( 125 руб.- 80 руб.). Обратите внимание на то, что числитель равен разности между выплатами по опциону в «верхнем» и «нижнем» положениях, а знаменатель - разности между выплатами по акции в этих двух положениях. В общем виде в биноминальной модели: где Р это цена в конце периода, а индексы обозначают инструмент (о опцион, s акция) и положение (и «верхнее», d «нижнее»).

Чтобы воспроизвести опцион «колл» в условиях биноминальной модели, необходимо купить h акций. Одновременно необходимо получить под ставку без риска средства путем продажи облигации. Эта сумма равна: B = PV(hP sd -P оd ), где PV дисконтированная стоимость суммы, указанной в скобках. В итоге стоимость опциона «колл» равна: V o =hP s - В где h - это коэффициент хеджирования, а В - текущая стоимость облигации в портфеле, который воспроизводит выплаты по опциону «колл».

Рассмотрим, что произойдет с моделью ВОРМ оценки стоимости опциона, если число периодов до даты истечения возрастет. Например, для опциона на акции компании Альфа с истечением через год можно построить «дерево цены» с числом периодов, равным числу торговых дней в году, которых насчитывается приблизительно 250. Таким образом, в конце года для акций Альфа будет существовать 251 возможная цена. Действительная цена любого опциона «колл» для такого «дерева» быстро определяется компьютером по такому же принципу, как было показано выше для акций компании Альфа. Если число периодов еще более увеличить, считая каждый час торгового дня, тогда они будут насчитывать порядка 1750 (7 х 250) часовых периодов (что соответствует 1751 возможной цене в конце года). Число периодов в году возрастает при уменьшении продолжительности каждого периода. Максимально возможным будет бесчисленное количество бесконечно малых периодов (и соответственно бесконечное число возможных курсов в конце года). В таком случае модель ВОРМ превращается в модель Блэка-Шоулза, названную так в честь ее авторов. 4. Модель Блэка-Шоулза

В условиях отсутствия налогов и трансакционных издержек стоимость опциона «колл» можно оценить, воспользовавшись данной моделью. Она используется в ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены. Опцион, который продается по существенно более низкой цене, является кандидатом на покупку, и наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу. Формула Блэка-Шоулза для оценки действительной стоимости опциона V c имеет следующий вид: где

P s - текущая рыночная цена базисного актива, E- цена исполнения опциона, R- непрерывно начисляемая ставка без риска в расчете на год, T- время до истечения, представленнoe в долях в расчете на год, - риск базисной обыкновенной акции, измеренный стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год. Обратите внимание на то, что E/e RT это дисконтированная стоимость цены исполнения на базе непрерывно начисляемого процента. Величина ln(P s /E) - это натуральный логарифм P s /E. Наконец, N(d1) и N(d2) обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше d1 и d2. Для определения стоимости опциона «колл» с использованием формулы Блэка- Шоулза нужна таблица величин N(d). Следует обратить внимание на то, что в данной формуле ставка процента R и стандартное отклонение актива предполагаются постоянными величинами на протяжении всего времени действия опциона.

Рассмотрим опцион «колл», который истекает через три месяца и имеет цену исполнения 40 руб. (таким образом, Т= 0,25 и Е= 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно 36 руб. и 50%, а ставка без риска равна 5% (таким образом, Ps = 36, R= 0,05 и = 0,50). Решение уравнений дает следующие значения d1 и d2: Воспользуемся табличными значениями N(d1) =0,4013 и N(d2) = 0,3085. Определим действительную стоимость опциона «колл»: Если в настоящий момент этот опцион продается за 5 руб., то инвестору следует подумать, не выписать ли несколько опционов, так как они переоценены (согласно модели Блэка-Шоулза).

Также можно предположить, что в ближайшем будущем их цена упадет. Таким образом, продавец получит премию 5 руб. и сможет рассчитывать на покупку по более низкой цене, что принесет ему доход от разницы цен. Напротив, если опцион «колл» продается за 1 руб., то инвестору следует купить его. Так как он недооценен, то можно ожидать роста его стоимости в будущем.

Тщательный анализ формулы Блэка-Шоулза позволяет обнаружить некоторые интересные особенности ценообразования для европейского опциона «колл». Можно показать, что произойдет с действительной ценой опциона «колл» при изменении одной из переменных, когда остальные четыре сохраняют свои значения. 1. Чем выше цена базисной акции P s, тем больше стоимость опциона «колл». 2. Чем выше цена исполнения Е, тем меньше стоимость опциона «колл». 3. Чем больше времени до даты истечения Т, тем больше стоимость опциона «колл». 4. Чем выше ставка без риска R, тем больше стоимость опциона «колл». 5. Чем больше риск обыкновенной акции, тем больше стоимость опциона «колл».