Свойства углов, связанных с окружностью Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Свойства углов, связанных с окружностью Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Свойства углов, связанных с окружностью В М К А С Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны которого пересекают его окружность, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами. Док-во: проведём хорду АМ. Угол АМС- внешний угол треугольника АМВ, он равен сумме углов А и В. Значит угол В равен разности углов АМС и МАК. А эти углы – вписанные в окружность и измеряются половинами дуг АС и КМ на которые они опираются. Следовательно, угол В равен полуразности этих дуг.

Свойства углов, связанных с окружностью В М К А С Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух его дуг, одна из которых заключена между сторонами угла, а другая – между продолжениями сторон угла. Док-во провести самостоятельно.

Задачи для коллективного решения 1. В угол вписаны две окружности. Одна из них касается сторон угла в точках А и В, а другая – в точках С и D. Докажите, что на прямой АD эти окружности высекают равные хорды. 2. Из точки К проведены к данной окружности касательные КА, КВ и секущие КС, КD. Секущая КС еще раз пересекает окружность в точке L, а секущая КD еще раз пересекает окружность в точке М. Докажите, что точка пересечения прямых СМ и DL лежит на прямой АВ. А.Д.Александров, А.Л. Вернер, В.И.Рыжик. Геометрия 10 класс