Взаємне розміщення прямих у просторі. Паралельність прямої і площини Підготувала вчитель математики, директор Великоканівецького навчально-виховного комплексу Дошкільний навчальний заклад – загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів Литвиненко Тетяна Григорівна

Взаємне розміщення прямих у просторі Прямі а і в лежать в одній площиніне лежать в одній площині перетинаютьсяпаралельні мимобіжні а в а в а · в в а

Міркуємо разом Чи правильно, що: дві прямі, що не є паралельними, мають спільну точку; дві прямі, що не є мимобіжними, лежать в одній площині; дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні; дві паралельні прямі лежать в одній площині? Не завжди Так Не завжди Так

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - куб. З ясуйте взаємне розміщення прямих: 1.СD і В 1 D ; 2.АВ і С 1 D 1 ; 3.АС і DD 1 ; 4.А 1 D і В 1 С ; 5.А 1 С і АС 1. В В1В1 А1А1 С1С1 СD А D1D1 Мимобіжні Перетинаються Паралельні

Кут між мимобіжними прямими M a1a1 α b1b1 а b Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються. B

Властивості паралельних прямих 2. Усі паралельні прямі, що перетинають задану пряму, лежать з нею в одній площині. 1.Через точку простору, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, i тільки одну. а b A d c a b α

Міркуємо разом АА 1 ВВ 1 СС 1. Чи належать ці прямі одній площині? Як треба змінити рисунок, якщо додати до умов задачі існування прямої l, яка перетинає всі задані прямі? A A1A1 В1В1 С1С1 СВ Ні

A1A1 B1B1 C1C1 lABC a

Міркуємо разом Назвіть ребро паралелепіпеда, яке паралельне даному ребру і не лежить з ним в одній грані: А1А1 3) АB; 4) BC; B1B1 D А В С 1) AA 1 ; 2)BB 1 ; D1D1 C1C1 c) CC 1 ; b) D 1 C 1 ; a) DD 1 ; d) А 1 B 1 ; e) А 1 D 1 ;

Міркуємо разом Скільки ребер куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 проходить через дану його вершину паралельно заданому ребру: 1) А і В 1 С 1 ; 2) D і ВВ 1 ; 3) С 1 і АА 1. Відповідь обгрунтуйте. А1А1 B1B1 В С D D1D1 C1C1 А 1

Міркуємо разом Яким прямим паралельні сторони перерізу прямокутного паралелепіпеда АВСDА 1 В 1 С 1 D 1, якщо його перерізом є прямокутник із сторонами: 1) AB i AD 1 ; 2) B 1 C 1 i C 1 D; 3) BD i BB 1. А В D1D1 А1А1 DС С1С1 В1В1

А А А В В В С С С D D D А1А1 А1А1 А1А1 С1С1 D1D1 D1D1 D1D1 В1В1 В1В1 В1В1 С1С1 С1С1

Ознака паралельності прямих у просторі Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. а с в с а в с в а

Ознака мимобіжних прямих Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то такі прямі мимобіжні. а і в -мимобіжні а α А в

Міркуємо разом МN – середня лінія бічної грані SAB правильної чотирикутної піраміди SABCD. Доведіть, що MN CD. C D NM S В А Бічними гранями піраміди є трикутники. МN - середня лінія трикутника SАВ, тому МN АВ. АВ СD, оскільки основа даної піраміди – квадрат АВСD. Отже, за ознакою паралельності прямих, МN СD.

Поміркуємо разом Якщо точки А,В,С і D - вершини просторового чотирикутника, то середини відрізків АВ, ВС, СD і АD є вершинами паралелограма. Доведіть дане твердження. D K P N M C B А

Перевіримо свої знання 1. Площини α і β перетинаються. Отже, прямі а і в, зображені на малюнку А - мимобіжні; Б – перетинаються; В - паралельні; Г - можуть бути розміщені по- різному залежно від розміщення площин. в а β α

2. Два прямокутники АВСD і АEFD лежать у різних площинах. Прямі ВС і EF … А - мимобіжні; Б – перетинаються; В – паралельні; Г - можуть бути розміщені по-різному залежно від розміщення площин. 3. Діагоналі протилежних граней АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 … А - мимобіжні; Б – паралельні; В – паралельні чи мимобіжні; Г - перетинаються.

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі Пряма і площина Мають більше однієї спільної точки – пряма лежить у площині Мають не менше ніж одну спільну точку Не мають спільних точок - паралельні Мають тільки одну спільну точку – пряма перетинає площину α а α В А а α а В

α b β Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, що не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій цієї площини, то вона паралельна і самій площині. М а

Поміркуємо разом 1.Чи правильно, що коли одна з двох паралельних прямих паралельна деякій площині, то і друга пряма паралельна цій площині? 2.Чи паралельні між собою прямі, які паралельні одній площині?

Властивості прямої, що паралельна площині 1.Якщо площина проходить через пряму, яка паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій. а β α в

2. Якщо через кожну із двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їх лінія перетину паралельна кожній із даних прямих. β α в а

3. Якщо пряма паралельна кожній із двох площин, що перетинаються, то вона паралельна лінії їх перетину. β α с а

Поміркуємо разом 1.Чи може пряма, що паралельна деякій площині, перетинати хоча б одну, що лежить у цій площині? 2. Чи правильно, що середня лінія трапеції паралельна довільній площині, яка проходить через основу цієї трапеції?

3. Задано дві площини, що перетинаються, і точку на одній із них. Чи можна через цю точку провести пряму, яка не перетинає жодної із заданих прямих? 4. Чи правильно, що пряма, яка паралельна прямій перетину двох площин, паралельна хоча б одній із них?

5. Площина проходить через одну з мимобіжних прямих. Як вона може бути розміщена відносно другої прямої? 6. Чи будуть дві прямі мимобіжними, якщо одна з них паралельна деякій площині, а інша перетинає цю площину? 7. Як розміщені прямі а і в, якщо через пряму в можна провести дві площини, паралельні прямій а?

8. Чи можна через одну з мимобіжних прямих провести площину, паралельну іншій прямій? 9. Чи може пряма перетинати рівно три грані куба? 10. Як розміщені прямі а і в, якщо вони паралельні одній площині? 11. Пряма а паралельна деякій площині. Чи правильно, що пряма в, яка паралельна прямій а, також паралельна цій площині?

Використана література: 1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А., Геометрія 10 (академічний рівень), Київ Зодіак-Еко, 2010р. 2. Бабенко С.П. Усі уроки геометрії 10 клас (академічний рівень), Харків, Основа, 2010р.