1 Тема уроку:

2 Яким може бути взаємне розміщення двох площин в просторі ? α β α β α β = с α β с

3 Означення та ознаку перпендикулярних прямих. Означення та ознаку перпендикулярності прямої і площини.

4 Означення перпендикулярних прямих

5 Ознака перпендикулярності прямих в просторі Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні. β а1а1 b1b1 О1О1 α b O а а 1 а, b 1 b, а b, то а 1 b 1

6 Означення перпендикулярних прямої та площини α О х1х1х1х1 х2х2х2х2 х3х3х3х3 хnхnхnхna Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до довільної прямої, що лежить на цій площині і проходить через їхню точку перетину.

7 Ознака перпендикулярності прямої і площини Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині та перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини. α О с a b

8 Тема уроку: Завдання уроку: Дати означення перпендикулярних площин. Сформулювати і довести ознаку перпендикулярності площин. Навчитися застосовувати вивчені твердження до розвязування задач.

9 Означення перпендикулярних площин Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Якщо αβ=с, α=а, β=b, с і а b, то α β α β с а b

10 Ознака перпендикулярності площин Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні. Дано: α, а α; аα=О; площина β проходить через а. Довести: β α. α β b а О

11 Ознака перпендикулярності площин Дано: α, а α; аα=О; площина β проходить через а. Довести: β α. Доведення α β Побудуємо довільну площину β ββ β через пряму а аа а і деяку точку К поза нею.b К О – спільна точка площин α і β ββ β, тому α αα αβ = b, О b bb b. Проведемо на площині α деяку пряму с b bb b (на площині така пряма єдина). Оскільки а аа а α і а аа аα=О, то а аа а с (О с, Оb, Оа ). Отже, с а, с b. Проведемо площину через прямі а аа а і с, то b bb b (оскільки дві її прямі перпендикулярні до b bb b). Тоді за означенням, β ββ β α. с а О

12 Властивості перпендикулярних площин Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до їхньої лінії, перпендикулярна до другої площини. Дано: а b, α β =с, α і а 1 с, с Дано: а b, α β =с, а 1 α і а 1 с, с а 1 =А. Довести: а 1 β α β с а b а1а1а1а1 b1b1b1b1 А

13 Властивості перпендикулярних площин Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з деякої точки однієї з них опущено перпендикуляр на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій площині. Дано: α, α β =с, В α, Дано: α β, α β =с, А β, В α, α АВ α. Довести: АВ β α β с а b В А

14 Опорна задача З точок P і Q, які лежать на двох взаємно перпендикуляр- них площинах, проведено перпендикуляри PH і QC на пряму перетину площин α і β. Знайдіть довжину відрізка PQ, якщо PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см. Дано: α β, αβ=с, РН с, Н с, QC с, Сс; PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см. Знайти: PQ. α с H β P Q C Оскільки α β, РН α α, РНс, то PH β,,,, звідси PH H Q. Тоді PH Q – прямокутний. На площині β QСH – прямокутний, оскільки QCс, то QC СH. Розвязання З QСH: HQ 2 = QС 2 + HС 2 =49+36=85. З РHQ: РQ 2 = РН 2 + HQ 2 = =121. Враховуючи, що РQ>0, РQ =11 см. Відповідь. 11см А як застосувати ознаку перпендикулярності площин для знаходження довжини відрізка, кінці якого лежать на перпендикулярних прямих?

15 Підсумки уроку Контрольні запитання: Подивіться, чи є на вашу думку, перпендикулярні площини в класній кімнаті? Перерізом куба площиною, перпендикулярною до його грані є… Дано куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (див. мал ст.169). Площина ВDD 1 … до площини C 1 CD; C 1 B 1 B; C 1 CB; C 1 D 1 B 1. квадрат.

16 Cписок використаних джерел uk.wikipedia.orgwiki/Перпендикулярність Геометрія ( академічний рівень, стр.), видавництво Генеза, Автор: О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О.Швець, 2010, стор. 256 n