Исполнитель : студент VI курса Научный руководитель: заочного отделения механико-кан. физ-мат. наук доцент математического факультета Мальцев В. А.Еленский Ю. Н. Пермь 2010 г. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Дипломная работа

Цель работы Основные теоретические сведения Основная идея Оценка ближайшего расстояния Алгоритм Пример использования алгоритма Геометрическая иллюстрация вращения векторного поля Пример применения программы Vector Пример применения программы Vector Выводы

В данной работе излагается новый алгоритм нахождения индекса изолированной особой точки плоского векторного поля, для реализации которого необходимо применение компьютера.

Вращением на замкнутой кривой называется количество оборотов (против направления движения часовой стрелки), которое делает векторное поле при обходе этой кривой в направлении, соответствующем её ориентации. (Как правило, ориентация кривой также направлена против движения часовой стрелки).

Вектор делает два оборота, вращение равно 2 Вектор делает один оборот, вращение равно 1 Вектор делает два оборота по часовой стрелке вращение равно -2

Точка, в которой векторное поле обращается в ноль называется особой точкой векторного поля. Ф

Особая точка называется изолированной, если в некоторой её окрестности нет других особых точек. Векторное поле на окружности достаточно малого радиуса с центром в изолированной особой точке не имеет нулевых векторов. М0М0 S1S1 S2S2

Индексом изолированной особой точки векторного поля называется вращение по окружности с центром в этой точке при условии, что в этом круге и на границе нет других особых точек. М0М0 S1S1 S2S2

Для вычисления вращения векторного поля есть формула Пуанкаре, согласно которой для нахождения вращения требуется вычислить контурный интеграл Где P(t) и Q(t) – координаты векторов поля Ф по контуру Г:

Этот интеграл решается численным методом с помощью компьютера (метод прямоугольников) За контур принимаем окружность некоторого постоянного радиуса r r

Для вычисления индекса надо так подобрать радиус окружности, чтобы в соответствующем круге не было других особых точек. Поэтому одним из этапов исследования стало нахождение оценок снизу расстояний до других возможных особых точек.

Эти оценки вошли в разработанный алгоритм нахождения индекса.

Результатом работы является разработанный алгоритм вычисления индекса изолированной особой точки. начало Ввод коэффициентов функций P(x,y) и Q(x,y): В начале задаются все коэффициенты

Далее вычисляется определитель коэффициентов при координатах первого порядка : d и e. Если он не равен нулю – сразу вычисляем индекс, и переходим к выводу результатов. определитель не равен 0 ind = sign к выводу результатов

Если же он равен нулю, определяем, к какому варианту относится данный случай для выбора оптимального решения. определитель равен 0 Выясняется, какому варианту расчетов соответствует рассматриваемый случай: 1 - (d 2 e 2 ) = (d 1 e 1 ), 2 - (d 1 e 1 ) = 0, (d 2 e 2 )0, 3 - (d 1 e 1 ) = (d 2 e 2 ) = 0.

Выбираем нужную подпрограмму для данного случая множественный выбор вариант 1 вариант 2 вариант 3 Вычисление t 3,4 процедура Var1(1) Вычисление t 3,4 процедура Var2(1) Вычисление t 3,4 процедура Var2(2)

На основании полученной оценки производим вычисление вращения по формуле Пуанкаре. За r min принимается наименьшее по модулю значение t, отличное от 0. Если все t=0, то за r min принимается любое число. Вычисление контурного интеграла по формуле Пуанкаре к выводу результатов

Выводим полученный результат на экран. Вывод : ind конец

Пример 1. Результат работы программы IndexOfPoint составленной по приведенному алгоритму:

Пример 3.

Для визуального контроля и возможности других исследований была также разработана вспомогательная программа Vector, которая графически иллюстрирует вращение векторного поля.

Программа строит графические изображения векторов по контуру обхода.

Пример 1. Результат работы программы Vector : Мы видим, что вращение векторного поля по контуру равно нулю, то есть ind = 0.

Пример 2. Программа IndexOfPoint показала ind = 0, мы видим, что это соответствует действительности

Пример 3. Программа IndexOfPoint показала ind = 2, мы видим, что это также соответствует действительности

Пример 4. Программа IndexOfPoint показала ind = 0, здесь результат аналогичный.

Пример 5. Программа IndexOfPoint показала ind = 2, а здесь отчетливо видно отсутствие вращения. Получили противоречие. Попробуем разобрать подробнее.

Тогда 2x 2 = 3y 2 мы видим, что особая точка {0, 0} не является изолированной, следовательно, понятие индекса к ней не применимо по определению.

Данный случай показывает эффективность применения комплексного подхода при нахождении индекса особой точки, в частности, при недостоверности факта изолированности точки. Программы с текстами исходников выложены в открытом доступе по адресам:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!