Многогранники Підготувала учениця 11 класу Сакал Альона

Історія Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Але теорія многогранників є і сучасним розділом математики. Вона тісно пов'язана з топологією, теорією графів, має велике значення як для теоретичних досліджень по геометрії, так і для практичних застосувань в інших розділах математики, наприклад, в алгебрі, теорії чисел, прикладної математики - лінійному програмуванні, теорії оптимального управління. Правильні многогранники стали називатися Платоновими тілами, так як старогрецький учений, філософ-ідеаліст Платон виклав в своїх працях вчення піфагорійців про правильні многогранники (піфагорійці вважали правильні многогранники божественними фігурами і використовували в своїх філософських вигадуваннях: першоосновам буття - вогню, землі, повітрю, воді додавалася форма відповідно тетраедра, куба, октаедра, ікосаедра, а весь Всесвіт мав форму додекаедра).

Форма першоелемента Землі - куб, Повітря - октаедр, Вогню - тетраедр, Води - ікосаедр, а всьому світу творець надав форму п'ятикутного додекаедра. Про те, що Земля має форму кулі, учили Піфагорійці. По Піфагору, існує 5 тілесних фігур: вище божество само побудувало Всесвіт на підставі геометричної форми додекаедра. Земля подібна Вселеною, і у Платона Земля – теж додекаедр.

Многогран ник ВершиниГраніРебра Осі симетрії Плоскість симетрії Тетраедр44636 Куб Октаедр Додекаедр Икосаедр

Основні означення Многогранник – це геометричне тіло, поверхня якого складається із скінченого числа плоских многокутників. Гранями многогранника називаються частини площин (многокутники), які обмежують многогранник. Ребрами многогранника називаються спільні сторони суміжних граней (многокутників). Вершинами многогранника називаються вершини многогранних кутів, утворених його гранями, що сходяться в одній точці. Діагоналлю многогранника називається відрізок прямої, яка сполучає дві вершини многогранника, що не лежать в одній грані. Діагональною площиною многогранника називається площина, що проходить через три вершини многогранника, які не лежать в одній грані. Перерізом многогранника площиною називається частина цієї площини, яка обмежена лінією перетину поверхні многогранника з цією площиною. Многогранник називається опуклим, якщо він цілком лежить по одну сторону від площини будь-якої його грані. Гранями опуклого многогранника можуть бути тільки опуклі многокутники.

Призма Висота – відрізок, що міститься між її основами і перпендикулярний до них. Пряма призма – бічні ребра перпендикулярні до основ. Площа бічної поверхні довільної призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на бічне ребро: Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми: Об'єм довільної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту:

Паралелепіпед Паралелепіпед Паралелепіпед – призма, основи якої – паралелограми. У паралелепіпеді протилежні грані паралельні і рівні; всі чотири діагоналі перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку периметра основи на висоту: Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

Куб Куб – прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні. Об'єм куба дорівнює: Діагональ куба можна знайти за формулою:

Піраміда Піраміда Піраміда – многогранник, який складається з плоского многокутника в основі, точки, яка не лежить у площині основи і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Правильна піраміда – в основі лежить правильний многокутник і основа висоти збігається з його центром. Апофема – висота бічної грані правильної піраміди. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює одній другій добутку периметра основи на апофему:

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів обох основ на апофему: Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи на висоту: Об'єм довільної зрізаної піраміди дорівнює:

Правильні многогранники Правильний многокутник - грані є правильними многогранниками з однією й тією самою кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника збігається одне й те ж саме число ребер. Існує пять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр.

1. У правильного тетраедра грані правильні трикутники; у кожній вершині збігається по три ребра. Тетраедр трикутна піраміда, усі ребра якої рівні. 2. У куба всі грані квадрати; у кожній вершині збігається по три ребра. Куб прямокутний паралелепіпед з однаковими ребрами. 3. В октаедра грані правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по чотири ребра. 4. У додекаедра грані правильні пятикутники. У кожній його вершині збігається по три ребра. 5. В ікосаедра грані правильні трикутники. У кожній його вершині збігається по пять ребер.

Правильні не випуклі многогранники (тіла Пуансо).

Правильні випуклі многогранники (тіла Платона).

Полуправильні многогранники (тіла Архімеда).