В пятом классе 36 человек. В школьной математической олимпиаде участвовали всех учащихся этого класса. Сколько учащихся пятого класса приняли участие в олимпиаде по математике? В школьной математической олимпиаде принимали участие четверо учеников пятого класса, что составило всех учащихся этого класса. Сколько всего учащихся в пятом классе? какая величина принята за целое в каждой задаче? в какой из задач эта величина известна, а в какой нет? в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? можно ли утверждать, что это взаимно обратные задачи? Решение: 36 : 9 = 4 (чел.) – 1/9 Решение: 4 · 9 = 36 (чел.) 320 §20. ОТЫСКАНИЕ ЧАСТИ ЦЕЛОГО И ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

353. Прочитайте задачи и определите, в какой из них надо найти часть от целого, а в какой целое по его части. После этого приступайте к решению: а) Площадь садового участка – 900 м 2. Морковью занята 1/15 этого участка. Какую площадь занимает морковь? б) Морковью занято 60 м 2, что составляет 1/15 площади садового участка. Найдите площадь участка.

Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи? Площадь поля 50 га. За день бригада трактористов вспахалл- ла поля. Сколько гектаров поля вспахаллла бригада за день? какая величина принята за целое в каждой задаче? в какой из задач эта величина известна, а в какой нет? в какой из задач требуется найти часть от целого, а в какой целое по его части? За день бригада вспахаллла 20 га, что составило площади всего поля. Какова площадь поля? Площадь всего поля. можно ли утверждать, что это взаимно обратные задачи? Известна. Часть от целого. Не известна. Целое по его части. Это взаимно обратные задачи. То, что в первой задаче дано – во второй надо найти, и наоборот. Нужно знать, какая площадь приходится на. Как найти величину, которая приходится на в первом случае и как во втором? 324 §20. ОТЫСКАНИЕ ЧАСТИ ЦЕЛОГО И ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

1) 50 : 5 = 10 (га) – площадь поля. 1) 20 : 2 = 10 (га) – площадь поля. 2) 10 · 2 = 20 (га) – площадь поля.2) 10 · 5 = 50 (га) – площадь поля. Ответ: 20 га.Ответ: 50 га. Решение: Площадь поля 50 га. За день бригада трактористов вспахалл- ла поля. Сколько гектаров поля вспахаллла бригада за день? За день бригада вспахаллла 20 га, что составило площади всего поля. Какова площадь поля? Целое – площадь всего поля: 50 га. Целое – площадь всего поля: не известна. 324 §20. ОТЫСКАНИЕ ЧАСТИ ЦЕЛОГО И ЦЕЛОГО ПО ЕГО ЧАСТИ

Прежде чем приступать к решению следующих задач, прочитайте их и ответьте на вопросы: 1) что принято за целое? 2) известна ли эта величина? 3) что требуется найти в задаче: часть от целого или целое по его части? 4) как найти величину, которая приходится на одну часть? 357. Предприниматель взял на реализацию (на продажу) 720 кг картофеля. За день было продано 5/8 этого количества. Сколько килограммов картофеля было продано за день? 358. За день пути лыжники прошли 34 километра, что составило 2/5 длины намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Уровень сложности задач повышается очень медленно. Задачи из §31: 459. Бригада комбайнеров за три дня убрала урожай со 171 га земли. В первый день было убрано 2/9, а во второй – 5/9 этой площади. Сколько га земли было убрано в третий день? 460. В книге 170 страниц. Максим в первый день прочитал 2/5, а во второй – 3/10 книги. Больше или меньше половины книги прочитал Максим за эти два дня? Сколько страниц ему осталось прочитать?

- половина треть четверть Процент – pro centum (перевод: на сто) – процент – 1 %

1 этап. Формирование представлений о том, что величина, которая принята за целое, составляет 100% У863. Математический кружок посещает 1% учащихся школы. Сколько процентов учащихся не посещают математический кружок? Если вы затрудняетесь дать ответ, подумайте, сколько процентов составляет число всех учащихся школы. Проверьте себя. 1% это от целого. Целое составляет 100/100. Значит целое, в данном случае это число всех учащихся школы, составляет 100%. У864. На пришкольном участке ребята посадили огурцы, помидоры и картофель. Огурцами было занято 8% площади участка, помидорами – в 3 раза больше, а остальная площадь огорода – картофелем. Ответьте на вопросы: а) какая величина принята за 100%? б) сколько процентов площади участка занято помидорами? в) сколько процентов площади участка занято картофелем?

2 этап. Формирование умений находить 1% данной величины и решать обратную задачу – зная величину, которая приходится на 1%, находить 100%. У873. Прочитайте предложения и ответьте на вопросы: что принято за 100% в каждом случае? известна ли эта величина? известна ли величина, которая приходится на 1%? 1) В коллекции филателиста 35 марок, посвященных знаменательным датам, что составляет 1% всех марок его коллекции. 2) В школе 700 учеников. Шахматный кружок при Доме детского творчества посещает 1% всех учащихся этой школы. 3) Танцевальный кружок при Доме детского творчества посещают 6 учеников одной из школ города, что составляет 1% всех учащихся этой школы. 4) В парке 1200 деревьев. Липы составляют 1% всех деревьев. В каждом случае найдите ту величину, которая неизвестна.

3 этап. Формирование умений находить процент от числа и число по его проценту. Определите, в каких из задачах величина, принятая за 100% известна, а в каких – нет; в какой задаче надо найти процент от числа, а в какой число по его проценту. К условию каждой задачи укажите подобное из предыдущего номера и скажите, в чем главное отличие этих условий. После этого приступайте к решению. У874. В коллекции филателиста 180 марок, посвященных знаменательным датам, что составляет 6% всех марок его коллекции. Сколько марок в коллекции? У875. В школе 750 учеников. Шахматный кружок при Доме детского творчества посещают 6% всех учащихся этой школы. Сколько учащихся этой школы посещают шахматный кружок?

Далее уровень сложности повышается очень медленно и поначалу в задачах звучат вопросы: какая величина принята за 100% и известна ли она? какая величина приходится на 1%? У953. Лыжники за три дня прошли 87 км. В первый день они прошли З5% всего пути, во второй – 38%, а в третий – остальной путь. Ответьте на следующие вопросы: 1) Какая величина принята за 100% и известна ли она? 2) Какая величина приходится на 1%? 3) Сколько километров лыжники прошли в первый день? 4) Сколько километров лыжники прошли во второй день? 5) Сколько километров лыжники прошли в третий день?

Задача. За три дня в магазине было продано 76 кг овощей. В первый день было продано 34% всех овощей, во второй – 25%, а в третий – остальные овощи. Сколько килограммов овощей было продано в каждый из трех дней? 1) 100 % – масса овощей, проданных за 3 дня. Известна – 76 кг. 2) 76 : 100 = 3) 0,76 · 34 = 25,84 (кг) – продано в I день; 4) 0,76 · 25 = 19 (кг) – продано во II день; 5) 100 – (34+25) =41(%) – продано в III день; Образец оформления решения задачи на проценты Решение. 6) 0,76 · 41 = 31,16 (кг) – продано в III день. Ответ: в I день продано 25,84 кг, во II день – 19 кг, в III день – 31,16 кг овощей. 0,76 (кг) – приходится на 1%;

Задача. Овощи, закупленные магазином, были проданы за три дня. В первый день было продано 34% всех овощей, во второй – 25%, а в третий – остальные 31,16 кг. Сколько килограммов овощей было продано в каждый из первых двух дней? 1) 100 % – масса овощей, проданных за 3 дня. Неизвестна. 3) 31,16 : 41 = 4) 0,76 · 34 = 25,84 (кг) – продано в I день; 5) 0,76 · 25 = 19 (кг) – продано во II день. 2) 100 – (34+25) =41(%) – продано в III день; Образец оформления решения задачи на проценты Решение. Ответ: в I день продано 25,84 кг, во II день – 19 кг овощей. 0,76 (кг) – приходится на 1%;

В пособии «Сборник задач и упражнений по математике. 5 класс» (Гамбарин В.Г., Зубарева И.И.) много задач на проценты с фактическим содержанием. Например: Под проливом Ла-Манш, от Дувра (Англия) до Кале (Франция), сооружен автомобильно-железно- дорожный тоннель, полная длина которого 52,5 км. Под дном пролива находится 72,38% всей его длины. Найдите с точностью до 1 км протяженность подводной части тоннеля.

Таким образом, в 5 классе, при изучении темы «Проценты» главное – приучить учащихся, анализируя условие и данные задачи, определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина. Если этого не происходит, учащиеся, зачастую, просто действуют наугад, что и влечет за собой неверное решение.

В систему упражнений первых семи параграфов учебника 6 класса включены задачи на проценты и на дроби такого же уровня сложности, как и в 5 классе. Например: 55. Площадь одного огорода 6 соток, а другого – 8 соток. На каждом их них 1% площади занят посевами фасоли. На сколько площадь, занятая фасолью на первом участке, меньше, чем на втором? 56. В течение года из бюджета одного города на нужды образования было выделено рубля, а из бюджета другого – рублей. В обоих случаях сумма, выделенная на образование, составила 1% городского бюджета. Во сколько раз бюджет первого города превышает бюджет второго?

В систему упражнений первых семи параграфов учебника 6 класса включены задачи на проценты и на дроби такого же уровня сложности, как и в 5 классе. Например: 58. а) Алеша с папой принесли из леса 13,2 кг грибов. После обработки оказалось, что 2/11 их массы ушло в отходы. Определите массу отходов. б) Для приготовления варенья была куплена вишня, из которой Лера и Даша вынимали косточки. Масса вынутых косточек оказалась равной 1,3 кг, что составило 2/5 массы переработанной вишни. Определите массу купленной вишни.

Но при этом в §5 встречается более сложная задача, требующая внимательного анализа: 164. Продолжительность летних каникул Сони 98 дней. 13/49 этого периода она провела с мамой на даче, 2/3 остального каникулярного времени – в летнем лагере, а оставшиеся дни – у бабушки в деревне. Сколько дней Соня гостила у бабушки?

И, наконец, в §8 возникают задачи с разными процентными базами. Учащимся предлагается выполнить следующие задания: «У281. Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых – по шоссе. 60% оставшегося расстояния он ехал по грунтовой дороге, а далее – по лесной тропе. Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы: Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Какая величина приходится на 1%? Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе? Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы: Что принято за 100%? Известна ли эта величина? Какое расстояние проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе? Чему равен 1% этой величины? Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?»

«У282. Мотоциклист проехал по шоссе 8 км, что составило 20% всего пути. 45% оставшегося пути он ехал по грунтовой дороге, а далее – по лесной тропе. Ответьте на вопросы: Что принято за 100% в первом предложении, а что во втором? Известны ли эти величины? Чему равен 1% всего пути? Какова длина всего пути? Какое расстояние проехал мотоциклист по грунтовой дороге и по лесной тропе? Чему равен 1% этого расстояния? Сколько километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге? Сколько километров проехал мотоциклист по лесной тропе?

Для формирования умений решения задач на проценты с разными процентными базами предлагаются задачи такого плана: 280. К осени цена на картофель понизилась сначала на 25%, а затем еще раз понизилась на 70%, после чего картофель стал стоить 6,3 р. за килограмм. Найдите летнюю цену картофеля Семейный бюджет составляет рублей в месяц. 5,5% этой суммы составляет плата за коммунальные услуги и электроэнергию, а 5% остатка – транспортные расходы. Какая сумма остается в семейном бюджете после оплаты коммунальных платежей и приобретения проездных месячных билетов?

363. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Вещество Число процентов Масса Вещество Число процентов Масса Свежие грибы Сушеные грибы Вода Сухое вещество Сухое вещество Какая величина здесь принята за 100%?Масса свежих грибов. Какую еще информацию из этого предложения можно внести в таблицу? 100% Вода составляет 90% массы свежих грибов. 90% Какую еще ячейку можно заполнить? Последнюю ячейку в этом столбце. 10% §11.

363. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Вещество Число процентов Масса Вещество Число процентов Масса Свежие грибы Сушеные грибы Вода Сухое вещество Сухое вещество Сколько процентов воды содержит сушеный гриб? 100% 15 % 90% Какие еще ячейки можно заполнить? Две другие в этом же столбце. 10% Какая величина здесь принята за 100%? Масса сушеных грибов. 100% 15% 85%

363. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Вещество Число процентов Масса Вещество Число процентов Масса Свежие грибы Сушеные грибы Вода Сухое вещество Сухое вещество В этом предложении есть данные для нашей таблицы? 100% Да, масса свежих грибов 17 кг. 90% Какую еще информацию можно внести в таблицу? О массе воды и массе сухого вещества. 10% 100% 15% 85% 17 кг 15,3 кг 1,7 кг Какова масса сухого вещества в сушеных грибах? Такая же как и в свежих – 1,7 кг. 1,7 кг Можем ли мы теперь ответить на вопрос задачи? Да, для этого нужно 1,7 разделить на 85 и результат умножить на кг

363. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Подобные задачи: 573, 574, 575, §18. Решение: 1) = 10 (%) – приходится на сухое вещество в свежих грибах; 2) 17 : 10 = 1,7 (кг) – масса сухого вещества в 17 кг свежих грибов и в сушеных грибах; 4) 1,7 : 85 = 0,02 (кг) – приходится на 1% массы сушеных грибов; 5) 0,02 · 100 = 2 (кг) – масса сушеных грибов. Ответ: 2 кг. 3) = 85 (%) – приходится на сухое вещество в сушеных грибах;

Следующий этап – задачи, в которых трудно определить, какая величина принята за 100%. Это задачи, в которых надо выяснить, на сколько процентов одна величина больше или меньше другой, и обратные им. (§19) Подумайте, что в следующей задаче принято за 100%. У589. 1) В магазине батон хлеба стоит 6,7 р., а на лотке цена такого же батона 6 р. На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине? 2) Определите, на сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке.

Эти задачи имеют довольно высокий уровень сложности, поэтому в учебнике большинство из них отмечены значком. Например: 591. В результате дефолта (так называется экономический кризис, который случился в России в 1998 г.) цены на импортные товары выросли примерно в 5 раз. До дефолта кроссовки стоили 200 р. На сколько процентов новая цена кроссовок выше старой? На сколько процентов старая цена кроссовок ниже новой? Закончите предложение: «В результате дефолта цены в среднем выросли на … %

Следующий этап – §21. Две основные задачи на дроби. В этом параграфе повторяется смысл действий умножения и деления числа на дробь: Умножить число на дробь – найти часть данного числа, соответствующую этой дроби, т.е. найти часть от целого; Разделить число на дробь – найти число, для которого данное число является частью, соответствующей данной дроби, т.е. найти целое по его части. До этого момента задачи на дроби и на проценты решались с обязательным выделением этапа отыскания величины, которая составляет 1%.

Здесь решаются задачи на отыскание дроби числа и числа по его дроби умножением или делением на дробь, а задачи на отыскание процента от числа и числа по его проценту – умножением или делением на десятичную дробь, соответствующую данному числу процентов. Заметим, что без рассмотрения вопроса, в чем состоит смысл умножения или деления на дробь, формирование соответствующих умений будет крайне затруднено.

Задание из рабочей тетради Покажите, что процент от числа можно найти умножением, выражая число процентов десятичной дробью (см. образец). Образец: 3% от 128 можно найти так: (128 : 100) 3 = 3 = = 128 = 128 0,03. а) 7% от 54 можно найти так: ________________________________________________ б) 12% от 1,3 можно найти так: ________________________________________________ в) 124% от 15 можно найти так: ________________________________________________ г) 60% от 0,24 можно найти так: ________________________________________________ ·

Но и после этого, решая задачи на сухое вещество, надо понимать, что они доступны далеко не всем учащимся. Рассмотрите запись решения задачи про грибы (363) в таком виде: 3) 1,7 : 85 Решение: 1) 100 – 90 = 10(%) – приходится на сухое вещество в свежих грибах; 10% – это 0,1. 3) (17 · 0,1) : 0,85 = 2 (кг) – масса сушеных грибов. Ответ: 2 кг. 2) 100 – 15 = 85(%) – приходится на сухое вещество в сухих грибах; 85% – это 0,85. Как показывает опыт, научить так решать подобные задачи можно только в старшей школе.

Использование микрокалькулятора при решении задач на проценты На панели микрокалькулятора найдите клавишу %. Она используется следующим образом. 120x15% Пусть надо найти 15% от 120. Процент от числа находится умножением. В калькулятор введена программа, которая позволяет находить процент от числа, не представляя число процентов десятичной дробью. Чтобы найти 15% от 120 последовательно нажимают клавиши: После этого на табло появляется число 18. Это и есть 15% от 120.

Использование микрокалькулятора при решении задач на проценты. Здесь же вводится понятие «Процентное содержание» Прочитайте задачу и ее решение. Постарайтесь установить правило, следуя которому можно определить, сколько процентов одно число составляет от другого. Задача. 800 г раствора содержат 24 г соли. Определите процентное содержание соли в растворе. Решение. 1) За 100% в задаче принята масса раствора – 800 г. Определим, какая величина приходится на 1%: 800 : 100 = 8 (г). 2) Определим, сколько процентов приходится на 24 г: 24 : 8 = 3 (%) Ответ: 3%.

Использование микрокалькулятора при решении задач на проценты. Задача. 800 г раствора содержат 24 г соли. Определите процентное содержание соли в растворе. 24 : (800 : 100) = 24 : = = 100 = = (24 : 800) · Запишем решение задачи выражением и преобразуем его: Мы получили последовательность действий при вычислении процентного содержания с помощью калькулятора.

Завершающий этап – §36. Решение задач с помощью пропорций Краткая запись условия: 100 % –––––– 450 кг х% –––––– 68,4 кг. Масса руды и масса меди – величины пропорциональные, поэтому можем составить пропорцию: 100 х ,4 = 450.(задачник) Из 450 кг руды при переплавке получили 68,4 кг чистой меди. Каким было процентное содержание меди в руде? Как видим, и здесь важно правильно определить, какая величина принята за 100%.