Экстремум функции

Введем понятие окрестности точки. Окрестностью точки a называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) - это окрестность точки 3. Посмотрим на график на рисунке ниже. Наиболее заметными точками области определения являются точки x, в которых возрастание сменяется убыванием (точки 3 и 5) или убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума (x max =3; x max =5) и точками минимума (x min =4). При построении графиков функций полезно сначала найти точки максимума и минимума. Например, в случае функции синуса точки вида π/2+2πn - это точки максимума, а точки вида -π/2+2πn - это точки минимума. В дальнейшем изложении будет показано, как искать точки максимума и минимума функции, не прибегая к рисованию графиков. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции.

минимум функции Приведем точные определения точек экстремума. Определение. Точка x 0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0. Это наглядно показано на рисунке 1:

Максимум функции Определение. Точка x 0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x 0 выполняется неравенство f(x) f(x 0. Это наглядно показано на рисунке 2: По определению значение функции f в точке x 0 является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x 0 имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно). В окрестности точки минимума графики изображаются в виде закругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно). Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:

Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума. Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно называется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x max, а точки минимума - x min.

Упражнение

Упражнение 84 а

Упражнение 84 в

Упражнение 84 б

Упражнение 84 г

Упражнение 85 а

Упражнение 85 в

Упражнение 85 б

Упражнение 85 г

ax 2 + bx + c = 0

Автор: Сабитова Файруза Рифовна преподаватель математики 1 квалификационной категории