Метод анализа иерархий (МАИ) Analytic Hierrarchy Process (AHP) Томас Саати

Основные определения Принятие решений – это деятельность, направленная на выбор варианта достижения цели. Цель – идеальное представление желаемого результата Альтернативы – варианты принимаемых решений Риск – отклонение от ожидаемого результата

Лица, принимающие решения, занимаются выбором вариантов в проблемной ситуации, опираясь на знания. (ЛПР)

Пример Выбор марки мобильного телефона (цель) ЛПР – будущий пользователь телефона Покупка – разрешение проблемной ситуации (на рынке множество предложений, то есть альтернатив) весь Неопределенность – из-за невозможности оценить весь ценовой спектр предложений Риск обусловлен реальным, а не рекламным качеством товара

Альтернативы описывают, оценивают и выбирают согласно критериям – правилам, задающим различия между вариантами решений, с точки зрения предпочтений и требования ЛПР.

Критериями при выборе мобильного телефона могут быть наличие сенсорного экрана, удобство пользования фотокамерой, дизайн телефона и т.д.

При принятии решения количественные показатели не всегда являются главными при выборе той или иной альтернативы. Методы экспертных оценок – это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов, выраженных в количественной и/или качественной форме с целью подготовки информации для принятия решений ЛПР

МАИ В основе метода лежит представление системы, которая моделирует реальную проблему, в виде иерархической структуры Иерархия – тип многоуровневой структуры, предусматривающий разделение системы на подсистемы по заданным классифицирующим признакам

Трехуровневая иерархия Цель F Критерии Kj K1, K2, K3, K4, K5 Альтернативы Ak A1, A2, A3 Альтернативы A1, A2, A3 (k=1, …, 3) нижний ур-нь, 3 й Критерии K1, K2, K3, K4, K5 (j=1, …, 5) промежуточный уровень, второй Цель F на первом уровне

Как сильно влияют отдельные факторы самого низкого уровня на самый верхний уровень структуры, то есть на цель процесса? Необходимость определения приоритетов факторов, то есть интенсивности воздействия элементов каждого уровня на процесс достижения цели.

Влияние факторов друг на друга и на верхние уровни структуры (цели) можно описать при помощи фундаментальной шкалы абсолютных значений Для оценки приоритетности одного элемента из иерархии выбирается одно число из шкалы, характеризующее степень предпочтительности данного фактора по отношению к другому

Девятибалльная шкала абсолютных значений «1» равная предпочтительность две альтернативы одинаково предпочтительны с точки зрения цели «2» слабая степень предпочтения промежуточная градация между равным и средним предпочтением «3» средняя степень предпочтения опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительнее другой

«4» предпочтение выше среднего промежуточная градация «5» умеренно сильное предпочтение одна из альтернатив явно предпочтительнее другой «6» сильное предпочтение «7» очень сильное (очевидное) предпочтение одна из альтернатив гораздо предпочтительнее другой, подтверждено практикой

«8» Чрезвычайно сильное предпочтение промежуточная градация «9» Абсолютное предпочтение очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет неоспоримое подтверждение

Первый шаг F K1K2K3K4K5 A1 A2A3 ЦЕЛЬ КРИТЕРИИ АЛЬТЕРНАТИВЫ

Второй шаг Парные сравнения значимости критериев (2 уровень) относительно цели (первый уровень) и альтернатив (3 уровень) относительно каждого критерия A= ( a ij ) Матрица парных сравнений n x n, n – число альтернатив, (i,j=1,..,n) Если элемент aij=a, то элемент aji=1/a Если Ai так же важен, как Aj, то aij=aji=1 aii=1 для всех i=1,..,n

Например, а абсолютно («9») предпочтительнее b a 91a b b1/91

Положительная обратно симметричная матрица А 1a 21 … a 1n 1/a 21 1 … a 2n ………… 1/a n1 1/a n2 … 1

Третий шаг. Вектор приоритетов Перемножаем n элементов каждой строки, извлекаем корень n-й степени из произведения, нормализуем полученные числа на единицу.

B собств в-р A FК1К2К3К4 К110, , ,26338 К231573, ,56381 К30,33330,2130,668740,11779 К40,20,142860,333310, , , ,495/(1,495+3,20+0,668+0,312)=1,495/5,677=0,263 и так далее

Вычислим n числовых весов w1,w2,…,wn, которые соответствуют абсолютным приоритетам факторов А1, А2, …, Аn относительно фактора Кm Вектор абсолютных приоритетов -это главный собственный вектор матрицы А, то есть собственный вектор матрицы парных сравнений, отвечающий максимальному собственному значению матрицы Lmax. Aw=LmaxW

Четвертый шаг Умножим матрицу парных сравнений справа на полученную оценку вектора приоритетов и получим новый вектор Т. Разделим каждую компоненту вектора Тj на соответствующую компоненту вектора приоритетов Aj, получим новый вектор Е={Тj / Аj} Вычислив среднее арифметическое компонент этого вектора (Е1+Е2+…En)/n найдем приближение к числу Lmax

BАТEL max F К1К2К3К4 К110,33351,4950,261,0794,0994,117 К231573,2010,562,3284,129 К30,330,2130,6680,110,4834,104 К40,20,140,3310,3120,050,2274,134 5,677116,46

Проверка на согласованность В согласованной матрице наличие основного массива необработанных данных обеспечивает логически обоснованные значения других величин Индекс согласованности ИС=(Lmax – n)/(n-1), n-размерность матрицы Отношение согласованности ОС=ИС/ 0,1

-математическое ожидание случайного индекса согласованности n ,580,91,121,241,321,411,451,53

Синтез обобщенных приоритетов Чтобы определить глобальные приоритеты альтернатив Ak, записывают в матрицу локальные приоритеты рассматриваемых вариантов Ak по каждому критерию Kj. Затем каждый столбец этой матрицы умножается на приоритет соответствующего критерия Kj. Последующее суммирование по строкам дает компоненты вектора глобальных приоритетов альтернатив Ак

Оценки альтернатив (в столбцах указаны векторы приоритетов) F К1К2К3К4 K1f1А1a11a12a13a14 K2f2А2a21a22a23a24 K3f3А3a31a32a33a34 K4f4 z1=f1*a11+f2*a12+f3*a13+f4*a14 z2=f1*a21+f2*a22*f3*a23+f4*a24 z3=f1*a31+f2*a32*f3*a33+f4*a34

Литература 1. Саати Томас Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. – М. :Радио и связь, Практикум по дисциплине «Теория и практика принятия решений». Метод анализа иерархий. Метод аналитических сетей / сост.: В.М.Картвелишвили, Л.М.Колоскова, Л.Р. Петросян. – М.: ГОУ ВПО «РЭУ им. Г.В.Плеханова», 2010.