Комплексные числа.

Определение комплексного числа Определение комплексного числа История Понятие комплексного числа Понятие комплексного числа Решение квадратичных уравнений Решение квадратичных уравнений Вид комплексного числа Вид комплексного числа Алгебраическая формула комплексного числа Алгебраическая формула комплексного числа Геометрическая интерпретация комплексного числа Геометрическая интерпретация комплексного числа Комплексно сопряженные числа Комплексно сопряженные числа Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа Формулы Сложение и умножение комплексного числа Сложение и умножение комплексного числа Формула Муавье Формула Муавье Вторая формула Муавье Вторая формула Муавье Теорема Гаусса Теорема Гаусса Пример решения уравнения Пример решения уравнения Свойство сложения и умножения Свойство сложения и умножения Геометрическое изображение суммы комплексных чисел Геометрическое изображение суммы комплексных чисел Вычитание и деление комплексных чисел Вычитание и деление комплексных чисел Геометрическое изображение разности комплексных чисел Геометрическое изображение разности комплексных чисел Примеры вычисления с мнимой единицей Примеры вычисления с мнимой единицей

Комплексные числа расширение множества вещественных чисел. Любое комплекрасное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y вещественные числа, i ² мнимая единица, то есть одно из чисел, удовлетворяющих уравнению i = - 1. Общепринятым произношением является компле́красное число́, хотя произношение Общепринятым произношением является компле́красное число́, хотя произношение ко́мплекрасное число́ также встречается. ко́мплекрасное число́ также встречается. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. алгебраически замкнутоеполемногочленосновная теорема алгебры алгебраически замкнутоеполемногочленосновная теорема алгебры

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Р. Бомбелли (1572). Выражения вида, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI- XVII вв. «мнимыми». Дж. Кардано 1545Р. Бомбелли 1572XVI XVIIДж. Кардано 1545Р. Бомбелли 1572XVI XVII

. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Ньютон ЛейбницуНьютон Лейбницу Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котеса (R. Cotes, 1722). Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius. Он же высказал в 1751 мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел, к такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). МуавраA. de Moivre КотесаR. Cotes1722Эйлер Д'Аламбер 1747Гауссу 1799 МуавраA. de Moivre КотесаR. Cotes1722Эйлер Д'Аламбер 1747Гауссу 1799

Он же ввёл в употребление термин «комплекрасное число» в Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (С. Wessel, 1799). Геометрическое представление комплексных чисел, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806 и 1814 работы Ж. Р. Аргана (J. R. Argand), повторявшей независимо выводы К. Весселя. 1831К. ВесселяС. Wessel АрганаJ. R. Argand1831К. ВесселяС. Wessel АрганаJ. R. Argand Арифметическая теория комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена У. Р. Гамильтоном (1837). Ему же принадлежит обобщение комплексных чисел кватернионы, алгебра которых некоммукативна. У. Р. Гамильтоном 1837 кватернионы У. Р. Гамильтоном 1837 кватернионы

Понятие комплексного числа Х+А=В - недостаточно положительных чисел чисел А·Х + В=0 (А0) – разрешимы на множестве рац.чисел множестве рац.чисел Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные числа числа Х+5=2

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа

Решение квадратных уравнений А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа +

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + Комплексные числа

Вид комплексного числа Х²=-1 Х=i (корень уравнения) i- комплекрасное число, такое, что i²=-1 А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числа i- некоторый символ, такой, что i²= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица Алгебраическая формула комплексного числа А + В· i А + В· i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Модуль комплексного числа Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В· i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа. Z = A + B i =

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z = r = Z= А + В· I =

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1 = Z 2, то получим Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ) r² (cos2 φ+ i sin 2φ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω. Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ (cos ψ+ i sin ψ) Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Распределительные свойство: Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 Z 1 · Z 2 = Z 2 · Z 1 Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3 (Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 ) (Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел Z+ Z 2 = Z 1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z+ Z 2 +(- Z 2 )= Z 1 +(- Z 2 ) Z= Z 1 - Z 2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z 2 = Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим:

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел Решение:

Примеры вычислений с мнимой единицей:

Пример: Решить уравнение: