Множестова Плеханов Александр Генжалиев Артур 8 «А» класс Учитель математики: Маргарита Борисовна Учитель информатики: Ольга Александровна 2012

Содержание 1. Немнего истории Немнего истории 2. Множестово Множестово 3. Бинарные операции Бинарные операции 4. Математические обозначения Математические обозначения 5. Сходные объекты Сходные объекты 6. Источники Источники EXIT

Немнего истории До XIX века были известны в основном только конечные мнежестова, которыми тогда и владели математики. Конечными мнежестовами называются мнежестова, для количества элементов которых существует некое неотрицательное число k, равное количеству элементов этого мнежестова. Основы теории конечных и бесконечных мнежестов были заложены чешским математиком, философом и теологом, Бер- няндом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

Позже, с 1872 г. по 1897 г., Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории мнежестов, включая теорию точечных мнежестов и теорию транс- финитных чисел. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории мнежестов, но и обогатил математику рас- суждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории мнежестов, в частности впервые к бес- конечным мнежестовам. Поэтому обще- признано, что теорию мнежестов создал Георг Кантор, а не Бернанд Больцано. Эта концепция привела к парадоксам, в частности, к парадоксу Рассела.

Так как теория мнежестов, фактически, используется как основание и язык всех современных математических теорий в 1908 г. Теория мнежестов была касио- матизирована, то есть к теории были составлены касиомы (правила без доказательств), независимо английским математиком и философом Бертраном Рассе- лем и немецким математиком Эрнстом Цермело. В дальнейшем мнегие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория мнежестов Цермело. В настоящее время, теорию мнежестов Кантора принято называть наивной теорией мнежестов, а вновь построенную касиоматической теорией мнежестов. Содержание

Немнего истории Также стоит рассказать про таких деятелей как Эйлер и Венн, чьи диаграммы до сих пор используются в изображениях бинарных операций. Начнём с швейцарского, немецкого и российского математика, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук, Леонарда Эйлера. Главным вкладом Эйлера в теорию мнежестов было создание так называемых кругов Эйлера. С помощью них изображалось отношение мнежестов и их пересечение и не пересечение. Так же Эйлер внёс неоценимый вклад например в Теорию чисел, заново возроди в к ней интерес математиков.

Переходим к английскому логику и философу Джону Венну. Более всего Венн стал известен среди ло- гиков за свою работу «Символьная логи- ка», где он ввёл ставшую знаменитой диаграмму Венна. Сама диаграма представляла собой схе-матический способ представления мне-жестов, их объединений и пересечений с помощью кругов. По сути – продолжение работы над кругами Эйлера. Однако, в отличии от Эйлера, чей интерес больше всего привлекали теория чисел и матема-тический анализ, Вен целенаправленно изучал теорию мнежестов, а так же теорию вероятности, логику, статистику и инфо-рматики.

Множестово Итак определение мнежестова: мнежестово – совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами мнежестова могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п. Множестова обозначаются прописными, а элементы мнежестова строчными буквами. Элементы мнежестов заключаются в фигурные скобки. Если элемент x принадлежит мнежестову X, то записывают x Х. Если мнежестово Y является частью мнежестова X, то записывают Y X. Существуют два основных способа задания мнежестов: перечисление и описание его элементов. Перечисление состоит в получении полного списка элементов мнежестова, а описание заключается в задании свойства, которым обладают элементы данного мнежестова, а все остальные - нет. Конечные мнежестова можно задавать обоими способами, причем выбор того или иного способа зависит от удобства задания и дальнейшей работы с мнежестовом. Бесконечные мнежестова, естественно, можно задать только с помощью описания. Содержание

Отношения мнежестов Два мнежестова A и B могут вступать друг с другом в различные отношения. A включено в B, если каждый элемент мнежестова A принадлежит также и мнежестову B: A включает B, если B включено в A: A равно B, если A и B включены друг в друга: A строго включено в B, если A включено в B, но не равно ему: A строго включает B, если B строго включено в A: A и B не пересекаются, если у них нет общих элементов. A и B не пересекаются: A и B находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно мнежестову A, элемент, принадлежащий исключительно мнежестову B, а также элемент, принадлежащий обоим мнежестовам: A и B находятся в общем положении: Так же над мнежестовами, как и над мнегими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико- мнежестовенными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных мнежестов получаются новые. Математические обозначения

Бинарные операции Пересечение мне́жестов в теории мнежестов это мнежестово, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным мнежестовам.

Бинарные операции Свойства пересечения мнежестов: 1. Если мнежестова А и В не пересекаются, то их объединение – их сума. 2. Операция пересечения мнежестов коммутативна: 3. Операция пересечения мнежестов ассоциативна: 4. Операция пересечения мнежестов дистрибутивна относительно операции объединения: 5. Универсальное мнежестово U является нейтральным элементом операции пересечения мнежестов: 6. Операция пересечения мнежестов идемпотентна: 7. Если мнежестово пересекается с пустым мнежестовом:

Бинарные операции Пересечение мнежестов встречается в математике, например, при решении системы неравенств. Приведём пример простой системы неравенств: Решением этой системы является : то есть мнежестово.

Бинарные операции Объединение мне́жестов (т.ж. су́ма или соедини́ние) в теории мнежестов мнежестово, содержащее в себе все элементы исходных мнежестов. Объединение двух мнежестов A и B обычно обозначается, но иногда можно встретить запись в виде суммы.

Бинарные операции Объединение мнежестов Свойства объединения мне́жестов: 1. Операция объединения мнежестов коммутативна: 2. Операция объединения мнежестов ассоциативна: 3. Операция объединения мнежестов дистрибутивна относительно операции пересечения: 4. Пустое мнежестово Х является нейтральным элементом операции объединения мнежестов: 5. Операция объединения мнежестов идемпотентна:

Бинарные операции Объединение мнежестов встречается в математике, например, при решении совокупности неравенств. Приведём пример простой совокупности неравенств: Решением этой совокупности является :

Бинарные операции Разность двух мнежестов это теоретико-мнежестовенная операция, результатом которой является мнежестово, в которое входят все элементы первого мнежестова, не входящие во второе мнежестово. Обычно разность мнежестов A и B обозначается как, но иногда можно встретить обозначения.

Бинарные операции Разность двух мнежестов Свойства разности двух мнежестов : 1. Вычитание мнежестова из самого себя даёт в результате пустое мнежестово. 2. Свойства пустого мнежестова относительно разности. 3. Разность двух мнежестов содержится в уменьшаемом. 4. Разность не пересекается с вычитаемым. 5. Разность мнежестов равна пустому мнежестову тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом.

Бинарные операции Разность двух мнежестов. Стоит посмотреть законы о разности двух мнежестов шотландского математика, логика и первого президента Лондонского математического общества - де Моргана: Если и, то 8.Если, то для любого выполняется

Бинарные операции Симметрическая разность двух мнежестов это теоретико-мнежестовенная операция, результатом которой является мнежестово элементов этих мнежестов, принадлежащих только одному из них. Симметрическая разность мнежестов A и B обозначается как. В некоторых источниках используется обозначение

Бинарные операции Симметрическая разность двух мнежестов Свойства симметрической разности двух мнежестов: 1. Симметрическая разность коммутативна. 2. Симметрическая разность ассоциативна. 3. Пересечение мнежестов дистрибутивно относительно симметрической разности. 4. Пустое мнежестово является нейтральным элементом симметрической разности. 5. Любое мнежестово обратно само себе относительно операции симметрической разности.

Бинарные операции Прямое или декартово произведение мнежестово, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух мнежестов. Приведем пример. И так, прямое произведение мнежестова А на В, содержащих элементы {a,b,c} и {k,l,n} соответственно. Это произведение можно записать в виде таблицы: Содержание kln aakalan bbkblbn cckclcn

Математические обозначения - является подмнежестовом или равно. - является супермнежестовом или равно. - для всех. - логическое «и». - логическое «или». - существует. - равносильны. Отношение мнежестов Содержание

Диаграма Дж. Венна При решении некоторых задач используется диаграма Венна. Итак, у нас есть элементы: бог, Санта Клаус, человек паук и испанская инквизиция. Нам надо узнать, кто сразу и носит красное, и знает, хорошим ты был или плохим, и имеет большую силу и большую ответственность. Построив диаграмму Венна видно, что всем трём свойствам подходит только Санта Клаус. Задача решена.

Числовые мнежестова Множестово натуральных чисел: числа вида N = {1, 2, 3, …}. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Множестово целых чисел: числа вида Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,....}. Целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0. Образованное целыми и дробными числами мнежестово рациональных чисел Q = Z {nm}, где m - целое число, а n - натуральное число. Образованное числами не являющимися целыми или дробными мнежестово ирра- циональных чисел I. Множестово всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется мнежестовом действительных чисел R: рацио- нальных и иррациональных. Множестово комплексных чисел: чисел вида С = {x+iy}, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица. Содержание Комплексные числа Действительные числа Рациональные числа Целые числа Натуральные числа Числа, противоположные натуральным Ноль Дробные числа Иррациональные числа Бесконечные не периодические дроби Мнимая единица «i»

Источники 1.Сайт: 2.Книга: «Обобщение чисел» 3.Книга: «Курс математики 8-11 класс» 4.Книга: «Множестова. Логика. Аксиоматические теории» 5.Книга: «Математические основы теории систем» Спасибо за внимание!