Проект на тему: теорія ймовірностей Підготував: Студент групи ЗП-21 Мукачівського аграрного коледжу ВП НУБІП України Галамба Олександр

План 1) Вступ 1) Вступ 2) Історія виникнення теорії ймовірностей 2) Історія виникнення теорії ймовірностей 3) Історичні факти 3) Історичні факти 4) Практичне застосування 4) Практичне застосування 5) Задачі 5) Задачі

Теорія ймовірностей розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування. Теорія ймовірностей розділ математики, що вивчає закономірності випадкових явищ: випадкові події, випадкові величини, їхні функції, властивості й операції над ними. Математичні моделі в теорії ймовірностей описують з деяким ступенем точності випробування (експерименти, спостереження, вимірювання), результати яких неоднозначно визначаються умовами випробування. Ймові́рність (лат. probabilitas, англ. probability) числова характеристика можливості того, що випадкковаподія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділуматематики, що називається теорія Ймові́рність (лат. probabilitas, англ. probability) числова характеристика можливості того, що випадкковаподія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів. Імовірність є основним поняттям розділуматематики, що називається теорія імовірностей. імовірностей.

Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізуазартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних. Найранніші праці в галузітеорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків. Виникнення теорії ймовірностей як науки відносять до середніх століть і першим спробам математичного аналізуазартних ігор. Спочатку її основні поняття не мали строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних. Найранніші праці в галузітеорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків. Вважають, що вперше Паскаль звзявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере ( ), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такими: Вважають, що вперше Паскаль звзявся за теорію ймовірностей під впливом питань, поставлених перед ним одним з придворних французького двору Шевальє де Мере ( ), що був азартним гравцем, але гра для нього теж була приводом для досить глибоких роздумів. Де Мере запропонував Паскалю два відомі питання, перше з яких він спробував вирішити сам. Питання були такими:

1. Скільки разів треба кинути дві гральні кубики, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків? 1. Скільки разів треба кинути дві гральні кубики, щоб випадків випадання відразу двох шісток було більше половини від загальної кількості кидків? 2. Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно? 2. Як справедливо розділити поставлені двома гравцями гроші, якщо вони з якихось причин припинили гру передчасно?

Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма ( ) і послужили приводом для запровадження поняття математичного сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач займався і Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679 рік). Ці задачі обговорювалися в листуванні Б. Паскаля і П. Ферма ( ) і послужили приводом для запровадження поняття математичного сподівання, і спроб формулювання основних теорем додавання й добутку ймовірностей. Під впливом поставлених і розглянутих питань вирішенням тих же задач займався і Християн Гюйгенс. Він не був знайомий із листуванням Паскаля та Ферма, тому методику розв'язку винайшов самостійно. Його працю, в якій запроваджено основні поняття теорії ймовірностей (поняття ймовірності як величини шансу; математичне сподівання для дискретних випадків, у вигляді ціни шансу), а також використані теореми додавання і множення ймовірностей (не сформульовані явно), було надруковано 1657 року, на двадцять років раніше листів Паскаля і Ферма (1679 рік).

Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі ( ). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров Врешті- решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики. Справжню наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі ( ). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду. У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел, центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров Врешті- решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.

Цікаві факти про виграші у рулетку

У 1891 році англійський гравець у рулетку на імя Чарлз де Вілл Уеллс зірвав банк в одному з казино Монако, причому не один, а шість разів за три дні. Подвоюючи свою ставку щоразу, коли програвав, він потім вигравав і перетворив свої 10 тисяч франків, з якими почав гру, в мільйон. Він помер у злиднях в 1926 році, але послужив стимулом для написання популярної пісні Людина, що зірвала банк в Монте-Карло і створення переконливої легенди про те, що можна придумати систему, здатну завдати поразки рулетці колесу. У 1891 році англійський гравець у рулетку на імя Чарлз де Вілл Уеллс зірвав банк в одному з казино Монако, причому не один, а шість разів за три дні. Подвоюючи свою ставку щоразу, коли програвав, він потім вигравав і перетворив свої 10 тисяч франків, з якими почав гру, в мільйон. Він помер у злиднях в 1926 році, але послужив стимулом для написання популярної пісні Людина, що зірвала банк в Монте-Карло і створення переконливої легенди про те, що можна придумати систему, здатну завдати поразки рулетці колесу.

Англійський актор Шон ОКоннері, незмінний виконавець ролей Джеймса Бонда, секретного агента і запеклого гравця, в січні 1963 року в італійському казино Сан- Вінсент у трьох партіях поспіль виграв в рулетку близько доларів. Всі три рази він ставив на номер 17. Система, винайдена англійським інженером-механіком Вільямом Джаггерсом, принесла її автору доларів. Система Джаггерса грунтувалася на тому, що ідеально збалансованих рулеткових коліс не буває, а значить, фізичні похибки будуть так чи інакше впливати на його обертання і в результаті деякі номери неодмінно випадуть частіше за інших. Джаггерс найняв шістьох помічників, закріпивши за кожним один ігровий стіл. Щодня вони спостерігали за грою і записували всі випадаючі номера. Увечері інженер збирав записи і аналізував їх. Після копітких розрахунків протягом місяця він міг з упевненістю сказати, що частота випадіння декількох номерів не вкладається в рамки теорії ймовірностей. Після цього Джаггерс сам відправився в казино і взяв участь в грі, роблячи ставки на заздалегідь намічені номеру. Через чотири дні він тримав у руках величезну суму. Англійський актор Шон ОКоннері, незмінний виконавець ролей Джеймса Бонда, секретного агента і запеклого гравця, в січні 1963 року в італійському казино Сан- Вінсент у трьох партіях поспіль виграв в рулетку близько доларів. Всі три рази він ставив на номер 17. Система, винайдена англійським інженером-механіком Вільямом Джаггерсом, принесла її автору доларів. Система Джаггерса грунтувалася на тому, що ідеально збалансованих рулеткових коліс не буває, а значить, фізичні похибки будуть так чи інакше впливати на його обертання і в результаті деякі номери неодмінно випадуть частіше за інших. Джаггерс найняв шістьох помічників, закріпивши за кожним один ігровий стіл. Щодня вони спостерігали за грою і записували всі випадаючі номера. Увечері інженер збирав записи і аналізував їх. Після копітких розрахунків протягом місяця він міг з упевненістю сказати, що частота випадіння декількох номерів не вкладається в рамки теорії ймовірностей. Після цього Джаггерс сам відправився в казино і взяв участь в грі, роблячи ставки на заздалегідь намічені номеру. Через чотири дні він тримав у руках величезну суму.

Події в матеріальному світі можна розбити на три категорії-достовірні, неможливі і випадкові. Наприклад, якщо підкинути гральну кістку, то вірогідно, що кількість випали очок буде натуральним числом, неможливо, щоб це число дорівнювало 7, і можливо, що воно буде дорівнює 5, а при інших будуть випадати інші значення очок: 1,2,3, 4 або 6. Визначення 1. випадковими подіями називається такий результат спостереження чи експерименту, який при реалізації даного комплексу умов може статися, а може і не відбутися. Приклади: 1. випадання герба при киданні однієї монети. 2. випадання чотирьох очок при киданні гральної кістки - випадкові події. Визначення 2. Випадкова подія, яка обов'язково настане, називається достовірною подією і позначається літерою щ. Події в матеріальному світі можна розбити на три категорії-достовірні, неможливі і випадкові. Наприклад, якщо підкинути гральну кістку, то вірогідно, що кількість випали очок буде натуральним числом, неможливо, щоб це число дорівнювало 7, і можливо, що воно буде дорівнює 5, а при інших будуть випадати інші значення очок: 1,2,3, 4 або 6. Визначення 1. випадковими подіями називається такий результат спостереження чи експерименту, який при реалізації даного комплексу умов може статися, а може і не відбутися. Приклади: 1. випадання герба при киданні однієї монети. 2. випадання чотирьох очок при киданні гральної кістки - випадкові події. Визначення 2. Випадкова подія, яка обов'язково настане, називається достовірною подією і позначається літерою щ.

Приклади: 3. випадання герба або цифри при підкиданні однієї монети; 4. виграш, програш чи нічия в матчі двох футбольних команд - достовірні події. Визначення 3. Подія визначається неможливим, якщо воно не містить ніякого безлічі результатів і позначається літерою __. При будь-якому результаті випробування ця подія не відбувається. Іншими словами, неможлива подія складається з порожньої множини результатів. Приклади: 5. випадання понад 6 очок при підкиданні грального кубика; 6. випадання цифри і герба одночасно при підкиданні однієї монети - неможливі події. Приклади: 3. випадання герба або цифри при підкиданні однієї монети; 4. виграш, програш чи нічия в матчі двох футбольних команд - достовірні події. Визначення 3. Подія визначається неможливим, якщо воно не містить ніякого безлічі результатів і позначається літерою __. При будь-якому результаті випробування ця подія не відбувається. Іншими словами, неможлива подія складається з порожньої множини результатів. Приклади: 5. випадання понад 6 очок при підкиданні грального кубика; 6. випадання цифри і герба одночасно при підкиданні однієї монети - неможливі події.

Задачі Нехай подія A = {випаде рівно 11 очок}. Два кубики після кидка можуть дати n=6*6=36 різних комбінацій (з урахуванням порядку). Всі випадки однаково ймовірні. Нехай подія A = {випаде рівно 11 очок}. Два кубики після кидка можуть дати n=6*6=36 різних комбінацій (з урахуванням порядку). Всі випадки однаково ймовірні. Подія A станеться, якщо на першому кубику випаде 5, а на другому 6 або на першому 6, а на другому 5. Тобто в двох випадках, m=2. Подія A станеться, якщо на першому кубику випаде 5, а на другому 6 або на першому 6, а на другому 5. Тобто в двох випадках, m=2. Використаємо класичне визначення ймовірності, P(A) = m/n P(A) = 2/36 = 1/18 Використаємо класичне визначення ймовірності, P(A) = m/n P(A) = 2/36 = 1/18 Відповідь Відповідь P(A) = 1/18 P(A) = 1/18

Умова задачі У збиральний цех надходять 20 деталей з першого автомата, 40 деталей з другого, 10 деталей з третього, 30 деталей з четвертого. Імовірність браку з першого автомата рівна 0.1, з другого - 0.6, з третього - 0.2, з четвертого Визначити ймовірність того, що: - взята навмання деталь буде бракованою, - бракована деталь виготовлена на 1 автоматі. Умова задачі У збиральний цех надходять 20 деталей з першого автомата, 40 деталей з другого, 10 деталей з третього, 30 деталей з четвертого. Імовірність браку з першого автомата рівна 0.1, з другого - 0.6, з третього - 0.2, з четвертого Визначити ймовірність того, що: - взята навмання деталь буде бракованою, - бракована деталь виготовлена на 1 автоматі.

Розв'язання Розв'язання Нехай подія А полягає в тому, що деталь – бракована. Нехай подія А полягає в тому, що деталь – бракована. Події Ні (і = 1..4) полягають в тому, що деталь надійшла з і- автомата. Події Ні (і = 1..4) полягають в тому, що деталь надійшла з і- автомата. Всього деталей: = 100. Всього деталей: = 100. Події Ні несумісні та утворюють повний простір подій: Події Ні несумісні та утворюють повний простір подій: H1 + H2 + H3 + H4 = Ω H1 + H2 + H3 + H4 = Ω Ймовірності цих подій такі: Ймовірності цих подій такі: P(H1) = 20/100 = 0,2, P(H2) = 40/100 = 0,4, P(H3) = 10/100 = 0,1, P(H4) = 30/100 = 0,3. P(H1) = 20/100 = 0,2, P(H2) = 40/100 = 0,4, P(H3) = 10/100 = 0,1, P(H4) = 30/100 = 0,3. Умовні ймовірності того, що бракована деталь взята з і- автомата, рівні: Умовні ймовірності того, що бракована деталь взята з і- автомата, рівні: P(A|H1) = 0,1, P(A|H2) = 0,6, P(A|H3) = 0,2, P(A|H4) = 0,3. P(A|H1) = 0,1, P(A|H2) = 0,6, P(A|H3) = 0,2, P(A|H4) = 0,3.

За формулою повної ймовірності отримаємо: За формулою повної ймовірності отримаємо: За формулою Байєса знайдемо ймовірність того, що деталь, виготовлена на 1 автоматі, бракована: За формулою Байєса знайдемо ймовірність того, що деталь, виготовлена на 1 автоматі, бракована: Відповідь: 0,37; 0,0541. Відповідь: 0,37; 0,0541.

Умова задачі Передається 5 повідомлень по каналу сполучень. Кожне повідомлення з імовірністю 0,3 незалежно від інших спотворюється. Знайти найімовірнішу кількість спотворень. Умова задачі Передається 5 повідомлень по каналу сполучень. Кожне повідомлення з імовірністю 0,3 незалежно від інших спотворюється. Знайти найімовірнішу кількість спотворень.

Розв'язання Розв'язання Найімовірніше число k0 подій визначають з подвійної нерівності: Найімовірніше число k0 подій визначають з подвійної нерівності: np – q < k0 < np + p np – q < k0 < np + p n = 5, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7 n = 5, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7 Виконаємо підстановку цих значень у формулу: Виконаємо підстановку цих значень у формулу: 5 · 0,3 – 0,7 < k0 < 5 · 0,3 + 0,3 5 · 0,3 – 0,7 < k0 < 5 · 0,3 + 0,3 0,8 < k0 < 1,8 0,8 < k0 < 1,8 Оскільки число np – q – дробове, то існує лише одне найімовірніше число: k0 = 1. Оскільки число np – q – дробове, то існує лише одне найімовірніше число: k0 = 1. Відповідь: 1. Відповідь: 1.

Дякую за увагу Дякую за увагу