Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія Геометрія, 9 клас Т.М. Скічко Косарська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів

Означення Перетворенням подібності (подібністю) називається таке перетворення фігури F у фігуру F, внаслідок якого відстань між точками змінюється в тому самому відношенні k (k>0). Число k>0 називається коефіцієнтом подібності. Якщо k=1, то маємо переміщення. Переміщення – окремий випадок подібності. B A F B A F AB= k AB

Властивості перетворення подібності 1) Перетворення подібності переводить прямі в прямі, промені – в промені, відрізки – у відрізки. 2) Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k=1. 3) Перетворення подібності зберігає кути між променями. А В С С В А Трикутник АВС подібний трикутнику АВС. АВС= АВС

Означення Гомотетією з центром О називається таке перетворення фігури F у фігуру F, внаслідок якого кожна точка Х фігури F переходить у точку Х фігури F так, що точка Х лежить на промені ОХ і ОХ= k ОХ (k – фіксоване додатне число). F F O X X Число k – коефіцієнт гомотетії, фігури F і F називають гомотетичними.

Основна властивість гомотетії Теорема. Гомотетія є перетворенням подібності. Доведення. Нехай точки О, Х, Y не лежать на одній прямій. Гомотетія з центром О і коефіцієнтом k. Точка Х – переходить в точку Х, точка Y переходить у точку Y. Y Y O X X За означенням гомотетії: ОХ= k ОХ, ОY= k ОY. Отже, трикутники ОХY і ОХY подібні за двома пропорційними сторонами й кутом між ними.

Властивості гомотетії Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом k. При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок – у паралельний йому відрізок; кут – у рівний йому кут. На координатній площині гомотетія точок А(х;у) і В(х 1 ; у 1 ) задається формулами: х 1 = k х; у 1 = k у.

Перевір себе Що таке перетворення подібності? Що таке гомотетія? Центр гомотетії? Коефіцієнт гомотетії? Середня лінія MN трикутника АВС відтинає від нього гомотетичний трикутник MBN. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?

Означення Розглянувши модель, сформулюйте означення перетворення подібності. B A F B A F AB= k AB