Основные виды движений Презентация по теме «ДВИЖЕНИЯ». Студент гр.2ББт-111: Бережной Дмитрий

Фигура F' получена преобразованием фигуры F.F. Фигура F' является образом фигуры F при данном преобразовании. Фигуру F называют прообразом фигуры F'. Преобразование фигур. Каждой точке фигуры F сопоставлена единственная точка плоскости. Пример Пример:

Пример преобразования фигуры: Сжатие к оси X:X: Если каждой точке М(x,y) ставим в соответствие М'(x',y') и x'=x, y'= ky, где k>0- постоянное число. (если k>1- растяжение k<1-сжатие). Y X Образ окружности x 2 +y 2 =r 2 – эллипс (x ' ) 2 +(y ' /k) 2 = r 2 М М'М'

Отображение плоскости на себя. Если 1) каждой точке плоскости сопоставляется какая-то одна точка этой же плоскости, причем 2) каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя.

Движения фигур. Преобразование фигуры, сохраняющее расстояние между точками, называют движением фигуры. X Y F X'X' Y'Y' F'F' При таком преобразовании фигуры сохраняются все её геометрические свойства (углы, площадь, параллельность отрезков и т.д.). Фигура F' F' получена движением фигуры F,F, если любым точкам X,Y X,Y фигуры F сопоставляются такие точки X',Y ' фигуры F', что X'Y' = XY.

Движение плоскости- отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками. Отрезок движением переводится в отрезок. Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую. Треугольник движением переводится в треугольник.

Гомотетия. Гомотетией с центром O и коэффициентом k 0 называется преобразование, при котором каждой точке X ставится в соответствие точка X' так, что Например, центральное подобие (гомотетия) с коэффициентом 2 : при k=2 расстояния между точками увеличиваются вдвое.

Основные виды движений: 1. Осевая и центральная симметрии Осевая центральная 2. Поворот Поворот 3. Параллельный перенос Параллельный перенос

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них – симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка XX'. Осевая симметрия.

Осевой симметрией с осью a называется такое преобразование фигуры,при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a.

Осевая симметрия является движением. Почему отображение, сохраняющее расстояния, называется движением? Это можно пояснить на примере осевой симметрии. Её можно представить как поворот плоскости в пространстве на вокруг оси а.

а М1М1 М М1М1 Такой поворот происходит следующим образом:

-X 0 X0X0 f (-x)=f(x) Y X Осевая симметрия в системе координат.

Симметрия фигуры. Фигура называется симметричной относительно прямой a,a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Фигура F симметрична относительно прямой а. Прямая а является ее осью симметрии. А В С F a

Точки X и Х' называются симметричными относительно заданной точки O, если ОХ=ОХ', а лучи OX и ОХ' являются дополнительными. Точка O считается симметричной самой себе. Центральная симметрия. X X' O

Центральной симметрией относительно точки O называется такое преобразование фигуры F, при котором каждой ее точке X сопоставляется точка Х', симметричная относительно точки O. F x x' F' O

M N N1N1 M1M1 Точка М симметрична точке М1М1 относительно точки О.О. Точка N симметрична точке N1 N1 относительно точки О.О. Отрезок MN симметричен отрезку M1N1.M1N1. Центральная симметрия является движением.

X0X0 -X 0 X Y f(-x) = -f(x) Центральная симметрия в системе координат.

Центрально-симметричные фигуры. Фигура называется симметричной относительно точки О (центра симметрии), если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит фигуре. О О О

ПОВОРОТ

Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол φ (0° φ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке X Є X Є F сопоставляется точка X' так, что О X φ x'

Теорема Поворот является движением О Y X

M N N1N1 M1M1 Центральная симметрия есть поворот на 180°: О

Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что вектор ММ 1 равен вектору а. М М1М1 а

Параллельный перенос есть движение. a М N M1M1 N1N1 Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину.

Параллельный перенос на плоскости в системе координат. Введем на плоскости систему координат O, X, Y.Y. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка M (x; y) переходит в точку M' M' (x+a;y+b), где a и b – одни и те же для всех точек (x; y), называется параллельным переносом.