Графы Автор: Баум Маргарита Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Тисульская средняя общеобразовательная школа 1 Руководитель: Пода Надежда Степановна

Проблемный вопрос Что такое графы и для чего они нужны ?

Цель исследования Изучение истории возникновения графов, их свойств и области применения графов

Ход исследования Определение целей и задач исследования Составление плана работы над проектом Поиск в письменных источниках и сети Интернет информации Изучение анализ отбор необходимой информации Составление презентации выводы Составление буклета Подготовка письменной части проекта Защита проекта Анализ итогов работы над проектом

Что такое граф ? В математике определение графа дается так: Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами. Рёбра графа Вершина графа

Как возникли графы? Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер, рассматривая задачу о кенигсбергских мостах. Сегодня эта задача стала классической. Термин "граф" впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г., хотя начальные важнейшие теоремы о графах восходят к Л. Эйлеру.

Задача о Кенигсбергских мостах Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз. Пройти по Кенигсбергским мостам, соблюдая заданные условия, нельзя. Прохождение по всем мостам при условии, что нужно на каждом побывать один раз и вернуться в точку начала путешествия, на языке теории графов выглядит как задача изображения «одним росчерком» графа.

Одним росчерком Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. Но, поскольку граф на этом рисунке имеет четыре нечетные вершины, то такой граф начертить «одним росчерком» невозможно.

Что такое гамильтонов путь (цикл) ? ГАМИЛЬТОНОВЫМ ПУТЕМ(ЦИКЛОМ) ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ПУТЬ(ЦИКЛ), ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ КАЖДУЮ ЕГО ВЕРШИНУ ТОЛЬКО ОДИН РАЗ. ГРАФ, СОДЕРЖАЩИЙ ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, НАЗЫВАЕТСЯ ГАМИЛЬТОНОВЫМ. (C, D, A, B, E) – гамильтонов путь A BE C D

Что называют полным графом, а что дополнением графа? ГРАФ НАЗЫВАЕТСЯ ПОЛНЫМ, ЕСЛИ ЛЮБЫЕ ДВЕ ЕГО РАЗЛИЧНЫЕ ВЕРШИНЫ СОЕДИНЕНЫ ОДНИМ И ТОЛЬКО ОДНИМ РЕБРОМ. ДОПОЛНЕНИЕМ ГРАФА НАЗЫВАЕТСЯ ГРАФ С ТЕМИ ЖЕ ВЕРШИНАМИ И ИМЕЮЩИЙ ТЕ И ТОЛЬКО ТЕ РЕБРА, КОТОРЫЕ НЕОБХОДИМО ДОБАВИТЬ К ИСХОДНОМУ ГРАФУ, ЧТОБЫ ОН СТАЛ ПОЛНЫМ. ДОПОЛНЕНИЕ ГРАФА ДО ГРАФА

Что такое дерево? Деревом называется связный граф, не имеющий циклов GH E C D F A B G, H, E, B, A - ВИСЯЧИЕ ВЕРШИНЫ ЦИКЛ – ПУТЬ, У КОТОРОГО СОВПАДАЮТ НАЧАЛО И КОНЕЦ. A B C u t s r Связный граф граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует как минимум один путь.граф компоненту связностивершинпуть

Применение графов В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея, Николай и слесарь занимаются боксом, Электрик-младший из друзей. По вечерам Андрей и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей. Условие задачи

Начинаем анализировать полученную схему. От каждого верхнего кружка должно исходить 4 линии к кружкам нижнего ряда, одна из которых сплошная(прочная связь), три -пунктирные. (разрывная связь). И от кружков нижнего ряда- аналогично. От Сергея отходит 3 разрывные связи, значит, четвертая- прочная связь Вадим-токарь, Сергей-слесарь, Коля-электрик, Андрей-шофер Ответ готов: слесарьтокарьэлектрикшофер Вадим СергейКоля Андрей

Выводы Я изучила историю возникновения графов, узнала их свойства и на основе этого материала сделала вывод. Графы – это замечательные математические объекты, с помощью, которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Также можно решать различные головоломки и упрощать условия задач по физике, химии, электронике, автоматике. Графы используются при составлении карт и генеалогических древ, при составлении меню, при составлении карт автомагистралей, электросетей и водопроводов и т.д. В математике даже есть специальный раздел, который так и называется: «Теория графов».