«Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна». Пьер Симон Лаплас ( ) Числа

R Q Z N N - натуральные числа Z - целые числа Q - рациональные числа R -действительные числа

Натуральные числа Числа 1, 2, 3, …, употребляемые при счете предметов, образуют множество натуральных чисел. Обозначают буквой N. Например, запись 27Є N читается: «27 принадлежит множеству натуральных чисел». Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывается с помощью цифр 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Например, запись 2457 означает, что 2457= Вообще если а - цифра тысяч, b –цифра сотен, d- цифра десятков и c- цифра единиц то имеем а 1000+b100+c10+d. Используется также сокращенная запись аbcd

Целые числа Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль Составляют множество целых чисел. Обозначают буквой Z. Например, запись -27Є Z читается: «- 27 принадлежит множеству целых чисел»

Рациональные числа Целые и дробные числа ( положительные и отрицательные ) составляют множество рациональных чисел. Обозначают буквой Q. Например, запись -3,5Є Q читается: «-3.5 принадлежит множеству рациональных чисел». Всякое рациональное число можно представить в виде дроби, m/n, где m Є Z, n Є N. Например: 5=5/1=10/2=15/3, 0,7=7/10, -4=- 4/1. Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Например: 5 8, ,5 - 0,5

5=5,000000….=5,(0) 8,377=8,377…=8,3(7)

Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Рациональное число (лат. ratio отношение, деление, дробь) число, представляемое обыкновенной дробью, где числитель m целое число, а знаменатель n натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей

Множество рациональных чисел Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в виде: Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, и, входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Рациональные числа как бесконечные десятичные дроби Для всех рациональных чисел можно использовать один и тот же способ записи. Рассмотрим 1. Целое число 5 5, Обыкновенную дробь 0, 3(18) 3. Десятичную дробь 8,377 8,3(7)

Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь. Положим, что х=1,(23), т.е. 1,232323… 100 х=123,2323… - х=1,2323… 99 х=122 х= Итак: 1,(23)=

Положим х=1,5(23)=1,52323… Сначала умножим на 10. Получим 15,2323.., а потом ещё на х=1523,2323… - 10 х= 15,232323… 990 х=1508 х= Итак: 1,5(23)=

Замечание: В примере мы видим, что 0,1(9)=0,2(0). Аналогично можно установить, что 2,45(9)=2,46(0) и т.д. Поэтому обычно десятичные дроби с периодом 9 не рассматриваются, заменяют их соответственно дробями с периодом 0. Пусть х=0,1(9), тогда 100 х=19,999… -10 х= 1,999… 90 х=18 Итак, х=0,1(9)= =, но = 0,2