Нестационарная подвижная нагрузка на упругой полуплоскости Среда однородная, изотропная и линейно упругая 1. Постановка задачи

Векторное поле перемещений можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей: Уравнение движения среды в перемещениях в векторной форме имеет вид: Тогда уравнение (1) сводится к системе однородных волновых уравнений относительно потенциалов φ и ψ: Связь компонент тензора деформаций и перемещений следует из соотношений Коши: (1) (2) (3) (4)

Компоненты тензора напряжений связаны с деформациями законом Гука для изотропной среды: (5) Далее будем рассматривать плоскую задачу, а именно, положим, что искомые функции не зависят от у, т.е. При этом уравнения движения (3) и соотношения (4), (5) упрощаются и принимают вид: (6) (7) 2. Плоская задача

Начальные условия задаем относительно потенциалов смещений: Плоскую задачу о движении поверхностной нагрузке представим в виде суперпозиции двух задач с граничными условиями двух видов: Для замыкания начально-краевой задачи (7) - (9) к ней нужно добавить условие ограниченности решения на бесконечности: (8) (9) (10)

3. Безразмерная постановка Введем следующие обозначения (штрих соответствует безразмерным величинам): Соответствующая безразмерная форма задачи (7)-(10) имеет вид: (12) (11)

Для решения начально-краевой задачи (12) используем преобразования Лапласа по времени τ и Фурье по координате x: Приходим к следующей краевой задаче в пространстве изображений: 4. Интегральное представление решения (13) (14) (12 а) (12 б)

Решения уравнений (13) имеют вид: (14) (15 б) (16) (17) (15 а)

Используя условие ограниченности решения на бесконечности (16), получаем, что Таким образом, изображения потенциалов записывается так: Рассматривая теперь эти равенства совместно с граничными условиями (15), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно С 1 и С 2. Для условий (15 а) её решение записывается следующим образом: (18) (19) Аналогично для граничных условий (15 б) получим (20) Подстановка этих равенств позволяет получить окончательные формулы для изображений перемещений и напряжений.

Далее ограничимся рассмотрением перемещений на границе полуплоскости. Их изображения представляем в следующем виде: – граничные условия (15 а): (21) – граничные условия (15 б) Здесь функции есть поверхностные функции влияния для полуплоскости. (22) (23) Для определения перемещений (21), и (22) используем теоремы умножения изображений. В результате с использованием свойств дельта-функции получаем следующие интегральные представления:

– граничные условия (15 а): – граничные условия (15 б) Для использования этих представлений необходимо знать оригиналы функций влияния. 5. Определение оригиналов функций влияния Используем метод совместного обращения преобразования Лапласа-Фурье. Вводя замену переменных запишем функции влияния в виде (подробно рас- смотрено для функции ): (24) (25) (26)

Тогда (27) Здесь - построенное с помощью преобразования Фурье аналитическое представление на плоскости функции : Для вычисления пределов в (1.3.2) замечаем, что функция, ее производ-ная по времени и многочлен являются однозначными функциями, и справедливы равенства: где Выделяем однозначные ветви функций и. Тогда с учетом (28) получаем: (28) (29)

Из (28) - (30) вытекает, что при функция является одно- значной, и, следовательно,. При вычисление пределов в (1.3.2) приводит к следующему результату: Во всех точках интервала за исключением. Раскла-дываем функцию на множители:. (30) (31) (32)

Затем записываем функцию так: Имеют место равенства Учитывая дополнительно, что аналитическим представлением дельта-функции является,т.е. для рассматриваемого интервала окончательно получаем: Использование свойств дельта-функции и однородности функции позволяет записать формулу (36) в следующем виде: (33) (34) (35) (36) (37)

Таким образом, функция влияния определяется так: Для остальных функций влияния приведем лишь некоторые промежуточные формулы и окончательные результаты. Отметим, что Для функции имеют место следующие равенства: Здесь Соответствующие формулы для функции имеют вид: (38) (39) (40) (41)

6. Нормальная поверхностная нагрузка Для решения начально-краевой задачи (12) с граничными условиями (12 а) запишем алгоритм нахождения перемещений. Представление перемещений записываются в виде (24): Для вычисления интеграла введем замену переменных: При : Необходимо расставить пределы интегрирования по переменной z для интеграла (42) с учетом (43) и (44). При интеграл примет вид: (42) (43) (44)

Пределы при : Разложим оригинал функции влияния (40). Для этого произведем следующие преобразования: С учетом последних выражений расставим пределы интегрирования в (45) и (46): (45) (46) (47) при (48)

при Далее раскладываем подынтегральные функции на элементарные дроби при. Произведем некоторые преобразования: Разложение функции влияния примет вид: Разложение функции влияния : (49) (50) (51) (52) определяются следующим образом: (53)

(54) Для скорости 7. Построение графиков перемещений Рис. 2. Зависимость перемещения от координаты х при времени (черная кривая) и (красная кривая)

Для скорости Рис. 3. Зависимость перемещения от координаты х при времени (черная кривая) и (красная кривая)

Для скорости Рис. 4. Зависимость перемещения от координаты х при времени (черная кривая) и (красная кривая)