В гонках участвуют черепахи. Использование симметрии при решении задач

Условие задачи с тремя черепахами Имеется равносторонний треугольник со стороной а, в вершинах которого сидят три черепахи. В некоторый момент времени все три черепахи начинают ползти с одинаковыми скоростями v, причём каждая из них ползёт точно к своей соседке справа. Вопрос: Через какое время они встретятся?

Гипотеза: из соображений симметрии ясно, что они встретятся в центре треугольника. При повороте на вокруг оси система переходит в себя. Осью является центр треугольника. При повороте не меняется не только положение черепах, но и направление их скоростей.

Решим задачу аналитически… Найдём скорость сближения черепах. Поскольку задача симметрична достаточно найти время сближения любых двух. Сделаем чертёж и отложим скорости черепах. Перейдём в систему отсчёта одной из них.

Решение задачи с помощью Excel Поскольку задача симметрична относительно центра треугольника, поместим туда начало координат, и пусть черепаха В находится на оси У. Скорость черепахи примем 1 см/с, а сторону треугольника 1м. Поскольку черепахи движутся медленно, то интервал времени Δt возьмём побольше – 1с.

Вычислим координаты вершин. Они будут координатами черепах. Занесём в Excel координаты и формулы для вычисления расстояний между черепахами. Построим траекторию сразу трёх черепах. Анализ таблицы показывает, что Траектории сходятся через 66,6 с. Видимо время движения черепах составляет именно столько.

Если в аналитическую формулу подставить исходные данные, то полученный результат будет равен 66,6 с! Сошлось, лучше не придумаешь. Но аналитический способ не позволяет получить траекторию движения. Значит, решение с помощью численных методов более наглядно и удобно.