«Исследование функции с помощью производной» Презентация по алгебре

Алгоритм исследования функции с помощью производной 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на чётность, нечётность; 3) Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты; 4) Найти промежутки монотонности; 5) Найти точки экстремума; 6) Составить таблицу значений функции у при х 0 7) Построить график.

Область определения функции Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Пример: Найти область определения функции. Решение: область определения функции находится из условия Ответ:

Чётность, нечётность функции Функция называется четной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = f(x) Функция называется нечетной, если – область определения функции симметрична относительно нуля – для любого х из области определения f(-x) = –f(x) Пример: Исследовать на четность и нечетность функцию: Решение: следовательно, функция f(x) – четная. Ответ: четная.

Вертикальные и горизонтальные асимптоты Прямую линию L называют асимптотой данной плоской кривой C, если расстояние от точки P(x,y) кривой до прямой стремится к нулю при ; говорят также, что кривая C асимптотически приближается к этой прямой. Пусть - уравнение асимптоты L кривой С. Если b=0, то L называется вертикальной асимптотой, если a=0, то L - горизонтальная асимптота, если, то L - наклонная асимптота.

Пример х=1 – вертикальная асимптота. y=3x+3 – наклонная асимптота. горизонтальной асимптоты нет.

Промежутки монотонности Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f´(х) 0, то функция у = f(х) возрастает на промежутке Х. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f´(х) 0, то функция у = f(х) убывает на промежутке Х.

Точки экстремума Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f (х) > 0 на интервале (a; х 0) и f (х 0)<0 на интервале (х 0; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума. Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х(), f (х) 0 на интервале (х 0; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака: если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Пример 3. Построить график функции используя общую схему исследования функции. Решение. 1. D(f) = R. Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции: Точка х=-1 является точкой разрыва функции. Так как то прямая х=-1 служит вертикальной асимптотой графика функции.

Ищем наклонные асимптоты Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид Находим производную: Из уравнений y=0, получаем точки Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака y:

Х (- ;-3) -3(-3;-1)(-1;0)0 (0; ) У´У´-0+ Не сущ -0- Уубыв. min возр.неопр убыв 0

Учитывая полученные результаты, строим график функции