Взаимное расположение прямой и окружности Возможны три случая 1. Имеют две общие точки ( d<r) с – секущая по отношению к окружности 2. Имеют одну общую точку (d=r) 3. Не имеют общих точек (d>r) r – радиус окружности, d – расстояние от центра окружности до прямой с с c с

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется к окружности. А А - точка касания О р Это интересно! касательной

(О свойстве касательной) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. О А р 1. Пусть р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р. 2.Т.к. п/р, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. 3. Из пп. 1 и 2 прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию ( прямая р – касательная ). Т.об. р ОА. Ч. и т. д. Дано: окр(О,ОА), р – касательная к окружности, А – точка касания. Доказать: р ОА. Доказательство:

А С В На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой..

ЗАПОМНИ! В М С Отметим на окружности две точки А и В. Они разделяют окружность на две дуги. А и В – концы дуг. Чтобы различить эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку С и М. Обозначают дуги: АМВ, АСВ. А В Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. АВ Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является С АМВ = АСВ =180 О А В М А О В М АМВ = АОВ, АМВ =360 - АОВ Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами в точках А и В. О А О М О диаметром окружности.

ВПИСАННЫЙУГОЛ ВПИСАННЫЙ УГОЛ В А С О ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом. ЗАДАЧА. Сколько на рисунке вписанных углов? Ответ: О 4 вписанным М На рисунке дуга АМС расположена внутри вписанного угла АВС, т.е. вписанный угол АВС опирается на дугу АВС.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Дано: окр.(О,r), АВС – вписанный (опирается на АС). Доказать: АВС = АС. Доказательство: (рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из сторон АВС) 1. АОС = АС, т.к. АС меньше полуокружности. 2. АВО – р/б, т.к. АО = ВО = r 1 = 2 (свойство р/б тр -ка). 3. АОС = 1+ 2 = 2 1,т.к. АОС – внешний угол р/б тр-ка. 4. Из пп. 1 и = АС, т.е. 1 = АС. Т. об. АВС = АС. Ч. и т. д. 1 2 А В С О

Возможны еще два случая расположения луча ВО относительно угла АВС. 1) Луч ВО делит угол АВС 2) Луч ВО не делит угол АВС на два угла. на два угла и не совпадает со сторонами этого угла. Дом. зад. Доказательство случая 1 рассмотрите по учебнику, а случая 2 проведите самостоятельно (п.71) О О В В АС А С

По данным рисунков найдите х. Х 1) ) 125 Х Х 2) 3) Вы можете себя проверить. Для этого нажмите ОТВЕТ х =64 х =175 х = 105

РАССМОТРИМ ВАЖНЫЕ СЛЕДСТВИЯ Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой.

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности? Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих точки? Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка называется точкой касания прямой и окружности? Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку попробуй выучить доказательство). Какой угол называется центральным углом окружности? Какая дуга называется полуокружностью? Как определяется градусная мера дуги? Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о вписанном угле( к следующему уроку попробуй разобрать все три случая доказательства). Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на полуокружность, - прямые.

Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме (запомните количество правильных ответов) 1) На рисунке прямая по отношению к окружности А секущая Б касательная С нет правильного ответаА Б С 2) На рисунке угол А центральный Б вписанный С нет правильного ответаАБ С 3) Прямая – касательная по отношению к окружности. Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол А острый Б прямой С тупой АБС 4) Дуга АВС равна А 360°-2<АОС Б 360°- <АОС С 180°+ <АОС А Б С 5) Дуга АОС равна 60°. Угол АВС равен А 60° Б 30° С 15°АБ С 6) Угол АВС равен 30°. Угол АDС равен А 60° Б 30° С нет правильного ответаАБ С 7) АВ – диаметр. Угол АОВ равен А 90° Б 180° С нет правильного ответа А Б С о А С В В А О В D C А А С ВО ИТОГ