Основы логики

Логика – это наука о законах и формах мышления. Она изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира. Термин «логика» происходит от древнегреческого logos – «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Этапы развития логики Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Дальнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель (384–322 гг. до н.э.), который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

В XVII веке немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) попытался построить первые логические исчисления, усовершенствовал и уточнил логические символы. На фундаменте, заложенном Лейбницем, другой великий математик, англичанин Джордж Буль ( ) воздвиг здание новой области науки – математической логики. Начальный раздел математической логики называют алгеброй логики или Булевой алгеброй.

Логика является одной из дисциплин, образующих математический фундамент информатики. В вычислительной технике и автоматике используются логические схемы – устройства, которые преобразуют двоичные сигналы. Анализ и проектирование логических схем опираются на законы алгебры логики. Любой язык программирования содержит логические переменные и средства для описания и вычисления логических выражений. Логические методы применяются и при работе с базами данных.

Основные формы мышления: понятие понятие высказывание высказывание умозаключение умозаключение

Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Например: «Если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание» Например: «Если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание» Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). Например: (А ۸ (В ۷ С)) Например: (А ۸ (В ۷ С)) Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных высказываний получается (выводится) новое высказывание. Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных высказываний получается (выводится) новое высказывание. Например: «Все металлы электропроводны». «Ртуть является металлом». Путем умозаключения можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна». Например: «Все металлы электропроводны». «Ртуть является металлом». Путем умозаключения можно сделать вывод, что «Ртуть электропроводна». Утверждение – высказывание, которое требуется доказать или опровергнуть. Например: «Сумма внутренних углов треугольника равна »

Алгебра логики С точки зрения устройства ЭВМ нас интересует алгебра логики, в которой не рассматривается конкретное содержание основного понятия логики – высказывания, а важно только истинно оно или ложно. Основным объектом в логике является высказывание. Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание называется составным, если оно состоит из простых высказываний, соединенных логическими связками: И, ИЛИ, частицей НЕ

Примеры: 1. Москва – столица России 2. Студент математического факультета педагогического университета 3. Треугольник АВС подобен треугольнику АВС 4. Луна есть спутник Марса 5. Кислород – газ 6. Каша – вкусное блюдо 7. Математика – интересный предмет 8. Железо тяжелее свинца 9. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны 10. Сегодня плохая погода 11. Река Ангара впадает в озеро Байкал Какие из этих предложений являются высказываниями? Ответ: 1, 4, 5, 8, 9, 11

Простые высказывания обозначают заглавными латинскими буквами A, B, C…X, Y, Z и называют логическими переменными Значения высказываний ИСТИНА или ЛОЖЬ обозначают соответственно цифрами 1 и 0 и называют логическими величинами Составные высказывания называются логическими выражениями и включают в себя логические переменные, операции логики и скобки для изменения порядка действий операций

Примеры: Рассмотрим следующие высказывания: 1. A = (7 > 3) 2. B = (7 = 3) 3. C = (7 3) 4. D = (B ۸ C) = ((7 = 3) ۸ (7 3)) На языке алгебры логики эти высказывания можно записать так: A = ИСТИНА = 1 B = ЛОЖЬ = 0 C = ИСТИНА = 1 D = ЛОЖЬ = 0

Основные логические операции Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение) Ставит в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказываний истинны. Соответствует союзу И Обозначается & или ۸АВ А А ۸ В

Примеры: Определить значения истинности следующих высказываний: 1. Ленинград расположен на Неве и = – простое число и 9 – простое число 3.2 * 2 = 4 и 2 * 2 5 и 2 * Москва – столица России и Екатеринбург – столица Сибири 5. Книга – источник информации и 5 не больше 8 6. Девочки обычно любят играть в куклы и Не любая машина - автомобиль 7. Все гуси – птицы и Все игрушки - машины Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 3, 5, 6

Соответствует союзу ИЛИ Обозначается ۷ Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение) Каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, а истинным, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.АВ А А ۷ В

Примеры: Определить значения истинности следующих высказываний: 1.7 – простое число или 9 – простое число 2. Число 2 четное или Это простое число 3.2 * 2 = 4 или Белые медведи живут в Африке 4. Каша – вкусное блюдо или Математика – интересный предмет 5. Луна – спутник Марса или Луна – спутник Земли 6. Сегодня плохая погода или Кислород – вода 7. Microsoft Word – текстовый редактор или Paint – графический редактор Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2, 3, 5, 7

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание) Соответствует частице НЕ Обозначается ААĀ01 10 Каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицает.

Примеры: Сформулируйте отрицания следующих высказываний и укажите значения истинности полученных отрицаний: 1. Волга впадает в Каспийское море. 2. Число 28 не делится на число > Ответ: истинными высказываниями являются: 2

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) Соответствует обороту ЕСЛИ…, ТО… Обозначается => Ставит в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.АВ А А => В

Примеры: Определить значения истинности следующих высказываний: 1. Если 12 делится на 6, то 12 делится на Если 11 делится на 6, то 11 делится на Если 15 делится на 6, то 15 делится на Если 15 делится на 3, то 15 делится на Если Саратов расположен на Неве, то белые медведи обитают в Африке. Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2, 3, 5

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) Ставит в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Соответствует оборотам: ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА; В ТОМ И ТОЛЬКО В ТОМ СЛУЧАЕ Обозначается; ~АВ А А В

Примеры: Определить значения истинности следующих высказываний: 1.12 делится на 6 тогда и только тогда, когда 12 делится на делится на 6 тогда и только тогда, когда 11 делится на делится на 6 тогда и только тогда, когда 15 делится на делится на 5 тогда и только тогда, когда 15 делится на 4. Ответ: истинными высказываниями являются: 1, 2

Объединенная таблица истинности АВ ¯А¯А¯А¯А А А ۷ В А А => В А А В А А ۸ В А А ۷ В

Законы логики Закон тождества: А=А Закон непротиворечия: А&Ā=0 Закон исключённого третьего: АvĀ=1 Закон двойного отрицания: ¬ ¬А=А Законы де Моргана: ¬(AvB)= ¬ A&¬B ¬(A&B)= ¬ Av¬B

Законы логики Закон коммутативности: A&B=B&A; AvB=BvA Закон ассоциативности: (A&B)&C=A&(B&C); (AvB)vC=Av(BvC) Закон дистрибутивности: A&(BvC)=A&BvA&C; Av(B&C)=(AvB)&(AvC) Закон идемпотентности: A&A=A; AvA=A Законы поглощения: Av(A&B)=A; A&(AvB)=A;

Формулы замены…