Геометрические фигуры Сфера и Шар

План: Определение и составляющие Сфера и Шар Уравнение сферы Взаимное расположение сферы и плоскости Взаимное расположение сферы и плоскости Касательная плоскость к сфере Объем шара Площадь сферы

Определение и составляющие сферы и шара: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка (О) называется центром сферы. Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы). Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R. Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой). Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

Сфера и Шар

Уравнение сферы: M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере. зн.MC= (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 т.к. MC=R, то (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 =R 2 если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x 0 ;y 0 ;z 0 ;) имеет вид : (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 =R 2

Взаимное расположение сферы и плоскости: ОН-расстояние от центра сферы до плоскости а.ОН перпендикулярна а 1. Если ОН<R, то плоскость а и сфера пересекаются по окружности. Сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается круг радиуса R.Такой круг называется большим кругом шара. 2. Если ОН=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае а называют касательной плоскостью к сфере, А Н-точкой касания. 3. Если ОН>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Касательная плоскость к сфере: касательной плоскостью к сфере точкой касания плоскости и сферы.Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Свойство:Свойство: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­ дикулярен к касательной плоскости. Обратное свойство:Обратное свойство: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Объём шара: V= 4 / 3 πR 3Объём шара радиуса равен V= 4 / 3 πR 3Задача: Условие Условие: Круговой сектор с углом 30 0 и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объём полученного тела. Решение: Решение: По условию ВОА=30 0, значит, ВОС=60 0, ОВ=ОС=R, поэтому ВОС правильный, причём его сторона ВС отсекает от радиуса ОА отрезок DA, равный высоте Н соответствующего шаровому сектору сегмента. Н=AD=AO-OD=R-R 3 / 2 =R(1- 3 / 2 ) Объём сектора: V= πR 2 H= πR 3 (2-3)

Площадь сферы: Площадь сферы радиуса R равна S=4 πR 2Задача: Условие Условие: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9 м 2. Найдите площадь сферы. Решение: Решение: Сечение, проходящее через центр сферы есть окружность. S сеч = πr 2, отсюда 9= πR 2, отсюда R= 9/ π. S сферы =4 πr 2, зн. S сферы =4π · 9/ π = =36 м 2