ГЕОМЕТРИЯ

Нас окружает множество предметов

КОНУС

Задача Какова площадь поверхности воронки, образовавшейся при взрыве 122-мм бомбы?

Задача Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы?

КОНУС α Пусть дана некоторая плоскость α.

КОНУС α Проведём в плоскости α замкнутую кривую линию L. L

КОНУС α Соединим точку А, не лежащую в плоскости α, с замкнутой кривой линией L. L А

КОНУС α Отрезки, соединяющие точку А с замкнутой кривой линией L, образуют коническую поверхность. L А

КОНУС α Тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей её по замкнутой кривой, называется конусом. L А

Назовите предметы, которые имеют коническую поверхность

КОНУС α Рассмотрим окружность О(r) Є α. Оr

КОНУС α Проведем прямую ОР α. Оr Р

КОНУС α Соединим каждую точку окружности О (r) с точкой Р. Оr Р

КОНУС Поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности с точкой, лежащей на прямой перпендикулярной плоскости этой окружности и проходящей через центр этой окружности – это поверхность прямого кругового конуса. α Оr Р

КОНУС КРУГОВОЙ КОНУС – ТЕЛО, ОГРАНИЧЕННОЕ КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ И КРУГОМ. α Оr Р

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Коническая поверхность – боковая поверхность конуса

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Круг – основание конуса

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Точка Р – вершина конуса Р

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Образующие конической поверхности – образующие конуса

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Прямая, проходящая через центр основания и вершину – ось конуса О

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания – высота конуса О Н У прямого конуса ось и высота совпадают. У наклонного конуса ось и высота не совпадают

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА Радиус основания конуса – радиус конуса Оr

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА: Боковая поверхность (коническая поверхность) Образующие Основание (круг) Вершина Ось Высота Радиус

КОНУС ЭЛЕМЕНТЫ КОНУСА: Боковая поверхность Вершина Ось Высота Радиус Образующая

КОНУС КОНУС – ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, причем этот катет будет является высотой конуса, второй катет – радиусом конуса, а гипотенуза образующей конуса. Н r

КОНУС СЕЧЕНИЯ КОНУСА Сечения, проходящее через ось(осевые) Сечения, перпендикулярные оси (поперечные) Сечение, проходящее через вершину, не содержащее ось конуса Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – диаметр конуса Если равносторонний треугольник – конус называется равносторонним Круг радиуса меньшего, радиуса основания Равнобедренный треугольник: боковые стороны – образующие, основание – хорда окружности основания

Конические сечения конуса – линии пересечения секущих плоскостей с боковой поверхностью конуса Конические сечения широко используются в технике ( эллиптические зубчатые колёса, параболические прожекторы и антенны ); планеты и некоторые кометы движутся по эллиптическим орбитам; некоторые кометы движутся по параболическим и гиперболическим орбитам.

КОНУС Касательная плоскость – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения

Если плоскостью, параллельной основанию конуса, отсечь от него верхнюю часть, то оставшаяся часть (между секущей плоскостью и основанием), называется усечённый конус Усечённый конус

ВИДЫ КОНУСОВ НАКЛОННЫЙ КОНУС ПРЯМОЙ КОНУС УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Так выглядит развертка конуса Развёрткой конуса является круговой сектор, у которого радиус равен образующей конуса R=, а длина дуги равна длине окружности основания конуса L=C=2πR α С = 2πR Формулы для вычисления боковой поверхности и полной поверхности конуса: Sбок.= πR Sосн.= πR² Sп.п.к. =Sбок.+Sосн.= πR(R+)

Задача 1 Какова площадь поверхности воронки, образовавшейся при взрыве 122-мм бомбы?

Для решения задачи надо измерить: Длину окружности основания воронки: С= 12 м и глубину по склону: =1,5 м Найти: Sбок.=? Решение: Sбок.= πR С= 2πR R=С: 2π S бок.= πR= πС:2π=С:2 S бок.=12*1,5:2= 9 м² Ответ: 9 м² С

Задача 2 Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы высотой 4 метра и диаметром основания 6 метров ? 4 6

Задача Решение: Sбок.= πR R=D:2 = 6:2 = 3( м) = Н² +R² = 4² + 3² = 5 Sбок. 3,14 * 3 * 5 45,7(м²) Ответ: 46 м² Дано: Н=4 м D=6 м Найти: Sбок.=? 6

Задача 3 (резерв) F О Фонарь установлен на высоте 8 м. Угол рассеивания фонаря 120°. Определите, какую поверхность освещает фонарь. 120° 8 м

Задача 3 F О Поверхность, освещаемая фонарём, это площадь круга с радиусом R=ОА. S= πR² 120° 8 м А

Задача 3 (решение) Решение: _ FАО= 180°-120°/2=30° FA=82=16 (катет, лежащий против угла в 30°) АО= FA²-FO² = 16²-8² = 83 (по теореме Пифагора) S = π (83)² =132π 414,5 м² Ответ: 414,5 м²

Какое из изображённых тел является конусом?

Ответьте на вопрос и запишите ответы в столбик. Из первых букв составьте слово. Как называется: 1. Фигура, полученная при поперечном сечении конуса? 2. Отрезок, соединяющий вершину с окружностью основания? 3. Имеет ли конус центр симметрии? 4. Тело, полученное при пересечении конуса плоскостью, параллельной основанию? 5. Фигура, являющаяся боковой поверхностью конуса?

Проверь себя Задание 1: 1; 5; 10. Задание 2: 1. Круг. 2. Образующая. 3. Нет. 4. Усечённый конус. 5. Сектор.

КОНУС Задание на самоподготовку: §2 п. 55; , 548 (б, в). Придумать задачу по теме «Конус», условие которой связано с военным делом. ? Почему пожарные вёдра имеют форму конуса?

КОНУС

в переводе с древнегреческого «сосновая шишка»

Задача 4 Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь основания конуса. 12 см А ОВ 45°

Задача 4 Дано: конус l = 12 см α = 45° Найти: S осн. = ? 12 см А ОВ 45° Решение: 1. Рассмотрим ОАВ – прямоугольный: ОВА = ОАВ = 45° => ОА = ОВ по т. Пифагора АВ 2 = ОА 2 + ОВ = 2·ОВ 2 ОВ = 6 2. S осн. = r 2 r = OB = 6 => S осн. = 72π см 2. Ответ: 72π см 2.