Наглядное пособие

Линейные преобразования графиков Линейные преобразования графиков Алгебра графиков Алгебра графиков

Линейные преобразования графиков Сдвиг вдоль оси абсцисс Сдвиг вдоль оси ординат Отражение относительно осей координат Отражение относительно осей координат Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс Растяжение и сжатие вдоль оси ординат Растяжение и сжатие вдоль оси ординат

Сдвиг вдоль оси абсцисс График функции, вида y = f(x+c), можно получить путём параллельного переноса (сдвига) всего графика y = f(x) вдоль оси Ox на –с единичных отрезков. Причём: если с > 0, сдвиг на с единиц влево, а если c < 0, сдвиг на |с| единиц вправо.

у x y = f(x) y = f(x+c), с > 0 y = f(x+c), c < 0

Рассмотрим пример Построим график функции y = (x-2) 2 Этот график можно получить сдвигом графика функции y = x 2 вдоль оси Ох на 2 единичных отрезка вправо (-2 < 0) y = x 2 y = (x-2) 2

Сдвиг вдоль оси ординат График функции, вида y = f(x)+С, можно получить с путём параллельного переноса (сдвига) всего графика y = f(x) вдоль оси Oy на С единиц. сдвиг на С единиц вверх, если С > 0, и сдвиг на |С| единиц вниз, если С < 0 Сдвиг на с единиц означает:

y x y = f(x) y = f(x)+С, С<0 y = f(x)+С, С>0

Рассмотрим пример Построим график функции y =|x|+3 Этот график можно получить сдвигом графика функции y = |x| вдоль оси Оy на 3 единичных отрезка вверх (т.к. 3>0) y = |x| y = |x|+3 x y

Отражение относительно осей координат Для того, чтобы построить график функции y = f(-x) нужно график функции y = f(x) отразить симметрично относительно оси Oy. Для того, чтобы построить график функции y = -f(x) нужно график функции y = f(x) отразить симметрично относительно оси Ox. y = f(x) y = f(-x) y = f(x) y = -f(x)

Построим график функции y = Рассмотрим пример Для этого строим график функции у =, а затем отражаем его симметрично относительно оси Оу x y у = y =

Рассмотрим пример Построим график функции y = Для этого строим график функции у =, а затем получим искомый график сжатием в 2 раза вдоль оси абсцисс y = x y

Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс График функции y = f(ax) получается из графика y = f(x) растяжением в раз по оси Ох (при 0 < а < 1) или сжатием в а раз, при а > 1

Растяжение и сжатие вдоль оси ординат График функции y = Af(x) получается из графика y = f(x) растяжением в A раз по оси Оy (при A > 1) или сжатием в раз при 0 < A < 1.

Рассмотрим пример Построим график функции y = 3x 3 Этот график получим путём растяжения графика y = x 3 вдоль оси ординат в 3 раза y = x 3 y = 3x 3

Алгебра графиков Сложение и вычитание графиков Умножение и деление графиков

Сложение и вычитание графиков Для построения графика функции y = f(x) (x), если известны графики функции и, надо произвести алгебраическое сложение соответствующих ординат у = у 1 у 2

Рассмотрим пример Построим график функции Для этого строим графики функций-слагаемых и Затем складываем ординаты кривых при одинаковых значениях х. Возьмём значения x = 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5…Складывая ординаты обоих графиков для каждого из этих значений, получим одну ветвь графика функции (при х>0). Заметив, что функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат, строим вторую ветвь графика функции (при х<0)

y 1 = x 3 y 2 = -2x y = x 3 -2x

Умножение и деление графиков Для построения графика функции вида y =f(x) (x) и вида у =, если известны графики функции y 1 = f(x) и y 2 = (x), надо произвести умножение (деление) соответствующих ординат. у = = f 1 (x) В некоторых случаях деление сводится в умножению:

Рассмотрим пример Построим график функции y =x|x| Сначала построим графики функций y 1 = x и у 2 = |x| y 1 = x y 2 = |x| Затем произведём умножение соответствующих ординат и в итоге получим кривую, симметричную относительно начала координат, что вполне естественно, в силу нечётности функции y = x|x|. y = x|x| x y

Рассмотрим пример Построим график функции y = Сначала построим графики числителя (y = 1) и знаменателя y = (1+x 2 ) x y y = 1 y = x 2 +1 Затем произведём деление каждой ординаты числителя на соответствующую ординату знаменателя. Это приведёт к следующему графику частного: