Вероятностно-статистическая линия в итоговой аттестации по алгебре за курс основной школы Автор: И.М. Первушкина, заместитель директора по УР, учитель математики МОУ ООШ 287

Требования к знаниям и умениям выпускников: решать комбинаторные задачи, используя перебор всех возможных вариантов или правило умножения, а в заданиях второй части – еще и некоторые специальные приемы; определять такие статистические характеристики, как среднее арифметическое, медиана, мода, выполняя при этом необходимые подсчеты; находить относительную частоту и вероятность случайного события, используя готовые статистические данные; отвечать на простейшие вопросы статистического характера; вычислять вероятность события в классической модели (в заданиях первой части – в простейших ситуациях, в заданиях второй части – с использованием комбинаторики для определения числа исходов); вычислять геометрическую вероятность.

2008 год Задание 1. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается средний рост этих учащихся (среднее арифметическое) от медианы? Ответ: __________________ Задание 2. Сколько всего трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 3, 7, 9? 1) 18 2) 24 3) 48 4) 64

2009 год Задание 3. На 500 электрических лампочек в среднем приходится 3 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? Ответ: __________________ Задание 4. Средний рост девочек класса, где учится Маша, равен 160 см. Рост Маши 163 см. Какое из следующих утверждений верно? 1) В классе все девочки, кроме Маши, имеют рост 160 см. 2) В классе обязательно есть девочка ростом 160 см. 3) В классе обязательно есть девочка ростом менее 160 см. 4) В классе обязательно есть девочка ростом 157 см.

Основные понятия теории вероятностей Событие, которое может произойти, а может не произойти, называют случайным событием. Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний. Вероятностью случайного события называют отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Примеры задач по теории вероятностей Задача 1.1 По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится три бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение: обозначим случайное событие «лампочка исправна» символом А, тогда вероятность купить исправную лампочку: P(A) = 997/1000 = 0,997. Ответ: 0,997 Задача 1.2. Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду? Решение: обозначим примерное количество рыб в пруду буквой х; тогда после пометки рыб в пруду оказалось 90 помеченных, причем частота помеченных рыб в пруду Wх(A) = 90/х, где А – символ исхода «поймана помеченная рыба». Вероятность поймать помеченную рыбу Ρ(А) Wх(A) = 90/х. Частота помеченных рыб в улове через неделю составила W84(A) = 5/84. По свойству вероятности 90/х 5/84, откуда х Ответ: 1500.

Задачи для самостоятельного решения Задача 1.3. Доля брака при производстве процессоров составляет 0,05 %. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным? А. 0,05 Б. 0,95 В. 0,0095 Г.0,9995. Задача 1.4. Из класса, в котором учатся 15 мальчиков и 10 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Какова вероятность того, что это будет девочка? Ответ: 0,4 Задача 1.5. (2 часть) В классе, где учится Наташа, по жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность того, что Наташа будет дежурить, если в классе 25 учеников? Ответ: 2/25. Решение: исходами опыта являются (неупорядоченные) пары, которые можно составить из 25 человек. Всего таких пар (25×24) : 2 = 300. Благоприятными исходами будут пары, в которые входит Наташа. Наташу можно поставить в пару с любым из 24 её одноклассников, значит, таких пар 24. Поэтому искомая вероятность равна 24 : 300 = 2: 25

Основные понятия комбинаторики Перебор возможных вариантов. Комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут выбрать все k элементов, равно произведению n1 · n2 · n3 ·… ·nk способами. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Pn = 1 · 2 · 3 · … · (n – 2) (n – 1) n. Размещением из n элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. k А n = n(n – 1)(n – 2) ·…. · (n – (k – 1)). Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Примеры задач на комбинаторику Задача 2.1. Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426? Решение. Самый младший разряд числа 426 (т.е. разряд единиц) увеличить нельзя – там стоит цифра 6. Разряд десятков увеличить можно – нужно цифру 2 заменить на следующую за ней цифру 4. После этого в разряд единиц нужно поставить минимальную цифру – 0. Ответ: 440. Задача 2.2. В чемпионате города по футболу играет десять команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места? Решение. На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе – любую из 9 оставшихся, на третье – любую из 8 оставшихся. По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10×9×8 = 720. Ответ: 720 Задача 2.3. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя только цифры 0, 2, 4, 6? Решение: на первое место можно поставить любую одну из цифр, кроме нуля, - это 3 варианта; на второе место – любую из 4 цифр и на третье – тоже любую из 4 цифр. По правилу умножения общее количество вариантов равно 3 × 4 × 4 = 48. Ответ : 48

Основные понятия статистики Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Модой ряда чисел называют число, наиболее часто встречающееся в этом ряду (ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем). Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медиана произвольного ряда называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

Примеры решения задач на статистические характеристики Задача 3.1. Проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочим одной бригады, получили такой ряд данных: 36, 35, 35, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36. Найти для него среднее арифметическое, размах и моду. Решение: 1) вычислим среднее арифметическое: (35×2 + 36×8 +37×4 + 38×3× + 39×4) : ) Размах ряда равен 39 – 35 = 4. 3) мода данного ряда равна 36. Задача 3.2. Известно, что 34 сотрудника отдела приобрели акции некоторого акционерного общества. Данные о числе акций, приобретенных сотрудниками, представлены в виде следующего упорядоченного ряда: 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3,…, 3 4, 4, …., 4, раз 16 раз Решение: найдем медиану этого ряда: так как всего в ряду 34 числа, то медиана равна среднему арифметическому 17-го и 18-го членов, т.е равна (3 +4) : 2 = 3,5. Среднее арифметическое этого ряда равно 6,2, т.е в среднем сотрудники отдела приобрели примерно по 6 акций.

Задачи для самостоятельного решения Задача 3.3. В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели: Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели число посетителей выставки было больше медианы? Задача 3.4. В городе пять школ. В таблице приведен средний балл, полученный выпускниками каждой из этих школ за экзамен по математике: Найдите средний балл выпускного экзамена по математике по всему городу. Ответ: 60. День недели ПнВт СрЧт ПтСб Вс Число посетителей Номер школы Количество выпускников Средний балл