Епіграф: «Хто з дитячих років займаєтья математикою, той развиває увагу, тренує свій розум, свою волю, виховує наполегливість і впертість у досягненні мети» (А. Маркушевич)

Мета уроку: перевірити рівень оволодіння учнями вивченого матеріалу з даної теми; сприяти реалізації отриманих знань при виконанні завдань різного рівня складності; формувати у учнів таких рис, як відчуття взаємовідповідальності і самоствердження, самоаналізу і самооцінки.

Із історії інтегрального числення Історія поняття інтеграла звязана з задачами знахождення квадратур(обчислення площ) і кубатур(обчислення обємів). INTEGRO-від латинського приводить в попередній стан, відновлювати. Архімед Біля до н.е.

Первісна і невизначений інтеграл

Геометрична інтерпретація

Невизначений інтеграл. Невизначеним інтегралом даного виразу називається найбільш загальний вигляд його первісної функції. Неизначений інтеграл виразу позначається. Вираз називається підінтегральним виразом, функція -підінтегральною функцією, змінна x –змінною інтегрування. Знаходження невизначеного інтеграла даної функції називається інтегруванням.

Означення: Множина первісних для функції на заданому проміжку називається невизначеним інтегралом. Позначення: де - первісна для С – константа - диференціал х. Операція знаходження всіх первісних для функції називається інтегруванням.

Зауваження Слово інтеграл походить от латинського слова integer – «цілий». Інтеграція-відновлення, воззєднання; тобто - це процес, який веде до стану звязності окремих частин в ціле. В побудованій математичній моделі мова йде про відновлення цілого по окремих частинах (наприклад про знаходження всієї площі – по площах стовпчиків)

Властивість інтеграла, який випливає з означення інтеграла Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції, а його диференціал- підінтегральному виразу. Дійсно:

Приклад знаходження первісної. Функція є первісна від, тобто є диференціал функції. Функція є первісною для функції.

Приклад знаходження невизначеного інтеграла. Найбільш загальний вигляд первісної функції для виразу є, де Ця функція є невизначеним інтегралом виразу. Где.

II. Правила інтегрування

Таблиця невизначених інтегралів

Приклад

Властивості диференціалів При інтегруванні зручно користуватися властивостями:

Приклад

Обчислимо

Зн айти первісні для функцій: а) f(x) =10х б) f(x) = х² в) f(x) =-sin(2x) г) f(x) = 5cosx д) f(x) = 6х² е) f(x) = 3 F(x) = 5 х² + C F(x) = х³ + C F(x) = 0,5cos(2x) + C F(x) = 5sinx + C F(x) = 2 х³ + C F(x) = 3x + C

Визначений інтеграл

Означення Криволінійною трапецією називається фігура, яка обмежена графіком додатньої і неперервної на відрізку [a;b] функції f, віссю Ox і прямими x = a і x = b.

Криволінійна трапеція

Математична модель 1) разбивають відрізок [a,b] на n рівних частин 2) Sn= f (Хo)ΔXo+ f (X1)ΔX1+ f (X2)ΔX2+…+ f (Xk)ΔXk+…+ f (Xn- 1)ΔXn-1 3) обчислюють limSn n

Теорема Якщо f-неперервна і додатня на [a,b] функція, а функція F – її первісна на цьому відрізку, то площа S відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [a,b], тобто. S=F(b)-F(a)

ОЗНАЧЕННЯ ІНТЕГРАЛУ Інтегралом функції f(x)від a до b називається число, до якого прямує S(n) при n до нескінченності для будь-якої непрервної на відрізку [a;b] функції f(x).

Формула Ньютона- Лейбніца Порівнюючи формули площі криволінійної трапеції S=F(b)-F(a) і S=fxdx зробимо висновок fxdx=F(b)-F(a)

Чи правильні рівності: а) б) в) г) д) ?

ВІДПОВІДЬ: 65.

ВІДПОВІДЬ: 28.

ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛУ V= Обєми тіл A= Робота змінної сили М= Центр мас

Кожна команда повинна відповісти на наступні питання: 1. Чи вам сподобався урок такого роду? 2. Яка мета була досягнута на цьому уроці? 3. Що вам не сподобалося і що б ви змінили?

Домашнє завдання