Застосування графів до розвязування задач. Часто при розвязуванні нестандартних задач (чи різних головомок) зручно зображати обєкти точками, а звязки між цими обєктами – лініями або стрілочками. Такий спосіб зображення ситуацій називають графом. УМОВА: Господиня принесла на базар кошик яблук. Першому покупцеві вона продала половину всіх яблук і ще 1 яблуко, другому – половину остачі і ще 1 яблуко, третьому – половину нової остачі і ще 1 яблуко тощо. Останньому – шостому покупцеві – вона також продала половину яблук, що залишилися, і ще 1 яблуко. Після цього виявилося, що господиня продала всі свої яблука. Скільки яблук вона принесла для продажу? 7-й клас

Розв язання. Складемо граф (рис.1): Під час розв язування виконуємо обернені дії: Відповідь: 126 яблук. :2 :

Геометрична задача ІІІ етап олімпіади І тур 2009 р. Задача Прямокутник розбитий на 16 різних прямокутників, у яких невідомі довжини сторін. Відома площа шістьох малих прямокутників, які утворилися внаслідок розбиття, їх площі наведені на рисунку. Знайти площі кожного з чотирьох маленьких прямокутників розташованих у нижньому ряду, якщо площа всього великого прямокутника складає 168 кв.од. Відповідь обгрунтувати.

Геометрична задача ІІІ етап олімпіади І тур 2009 р. 3. Знаходження площ прямокутників четвертого нижнього ряду. 2. Застосування цієї властивості для знаходження площ усіх прямокутників трьох рядів. 1. Виведення властивості площ прямокутника, розбитого на чотири прямокутника 1.Розглянемо прямокутник, який розбитий на чотири прямокутники: а, в, х, у. Тоді S 1 =ax, S 2 = bx, S 3 = ay, S 4 =by. Тому маємо рівність S 1 S 4 =S 2 S 3 ab x S1S1 S2S2 y S3S3 S4S4 Висновок: Якщо знаємо площу трьох з чотирьох наведених прямокутників, то можна знайти площу четвертого.

Геометрична задача ІІІ етап олімпіади І тур 2009 р. 3. Знаходження площ прямокутників четвертого нижнього ряду. 1. Виведення властивості площ прямокутника, розбитого на чотири прямокутника 2. Застосування цієї властивості для знаходження площ усіх прямокутників трьох рядів. Виходячи з умови задачі бачимо, що можна обчислити площі усіх прямокутників. Окрім тих, які розташовані у нижньому рядку. Зверху до низу їх площі такі: -верхній ряд: 2, 4, 8, другий ряд: 4, 8, 16, 20. третій ряд: 5, 10, 20,

Геометрична задача ІІІ етап олімпіади І тур 2009 р. 1. Виведення властивості площ прямокутника, розбитого на чотири прямокутника 2. Застосування цієї властивості для знаходження площ усіх прямокутників трьох рядів. 3. Знаходження площ прямокутників четвертого нижнього ряду. Позначимо площу лівого через х, тоді площі прямокутників нижнього ряду є х, 2х, 4х, 5х. Площа великого прямокутника: х, що за умовою становить 168. Маємо рівняння: х= х= , 12х=36, х=3. Відповідні площі прямокутників нижнього ряду мають такі площі: 3, 6, 12, 15. Відповідь: 3, 6, 12, 15.

У супермаркеті введені знижки. За купівлю товарів на суму від 300 грн, покупець отримує знижку 4%, а при покупці товарів від 600 грн, він отримує знижку 10%. На яку найбільшу суму (з точністю до копійок) зможе придбати товарів покупець, якщо у нього у кишені: а) 594 грн; б) 534 грн.? Розвязання: Нехай покупець набере товарів на сум х грн. Якщо ця сума х600 грн., то він повинен буде сплатити на 10% менше. Якщо ця сума х300 грн, то сплатить на 4% менше.

Розвязання задачі проведемо заповненням таблиці: Знижки у супер- маркеті На х грн. можна придбати товарів на суму Сума, яку має покупець у кишені Скла- даємо нерів- ність Найбільша сума за придбання товарів у %у грн.у %у грн.у %у грн. 4 від 300,00960,96х5340,96х ,25 10 від 600,00900,90х5940,9х

Знайти усі натуральні числа m, n, які задовольняють рівність mn 2 =2009(n+1). 1. Доведемо, що числа n і (n+1) взаємно прості. 2. Розгляд умов, що випливають із рівності mn 2 =2009(n+1). 3. Розклад числа 2009 на прості множники та знаходження числа n. 4. Знаходження числа m. Розвязання: 1.Покажемо, що n і (n+1) взаємно прості. Якби у них був спільний дільник d>1, то n=k 1 *d, n+1=k 2 *d. Тоді 1=(n+1)-n=d(k 2 -k 1 ), тобто d є дільником 1, що суперечить нашому припущенню. 2. Таким чином для заданої рівності mn 2 =2009(n+1) повинні виконуватися такі умови: m повинно ділитися на (n+1), а 2009 на n 2.

Знайти усі натуральні числа m, n, які задовольняють рівність mn 2 =2009(n+1). 1. Доведемо, що числа n і (n+1) взаємно прості. 2. Розгляд умов, що випливають із рівності mn 2 =2009(n+1). 3. Розклад числа 2009 на прості множники та знаходження числа n. 4. Знаходження числа m. Розвязання: 3. Оскільки 2009=7 2 *41, то можливі випадки n=1 або n=7. Розглянемо обидва випадки. При n=1 маємо m=2009(1+1)=2009*2=4018. При n=7 маємо 49m=2009(7+1)=2009*8, звідки m=2009*8/49=328. Тоді рівняння має два розвязки (1;4018), (7;328).

У трикутнику АВС точки D, E, F належать сторонам АВ, ВС і СА відповідно. Обчислити площу трикутника, утвореного прямими CD, BF, AE, якщо AD=AB, BE=BC, CF=CA і площа трикутника АВС дорівнює S. 11-й клас

Завдання заочного туру олімпіади з математики механіко-математичного факультету в 2009 році

Знайдіть знак числа

Знайти найбільше значення функції Знайти найбільше значення функції