Автор: Худакова Г.Н., учитель математики МОУ-СОШ с. Софьино.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Перпендикулярность прямых a и b обозначается c a b a b Перпендикулярные прямые в пространстве

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Дано: a c, a b Доказать: b c a b c М С А Доказательство Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а с, то АМС = 90°. По условию b а, а по построению а МА, поэтому b МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. это значит, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т.е. b c. 90°

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Определение Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой а. Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а α а α

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Задача Прямая а перпендикулярна к плоскости α. Доказать, прямая а пересекает эту плоскость. α а Решение Прямая а перпендикулярна плоскости α, значит она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Пусть прямая а не пересекает плоскость α. Тогда она или лежит в плоскости, или параллельна ей. В этом случае в плоскости имеются прямые, не перпендикулярные ей, например прямые, параллельные ей. Но это противоречит тому, что прямая а перпендикулярна любой прямой в плоскости α. Значит прямая а пересекает плоскость α. а а

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а b, а α Доказать: b α Доказательство Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей b х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. b α. аb х α

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости аb α β α а b b1b1 c M Теорема (обратная) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Дано: а α, b α Доказать: а b Доказательство Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b 1, т.ч. b 1 α. Докажем, что прямая b 1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а b. Допустим, что прямые b и b 1 не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b 1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а b. ·

Примеры, иллюстрирующие перпендикулярность прямой и плоскости.