Вневписанная окружность

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон О А В С М N H

ТЕОРЕМА1. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника А В С О К М N

ТЕОРЕМА 2. Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника. АВ 1 = АС 1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать: АВ 1 = АС 1 = p Доказательство: Т.к. О а - центр вневписанной окружности, тогда ВВ 1 = ВА 1, СА 1 = СС 1, АВ 1 = АС 1. 2p = (AC + СА 1 ) + (AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 ) + (AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 т.е. АВ 1 = АС 1 = p. Оа Оа В1В1 ra ra ra ra ra ra А В С С1С1 А1А1 α/2

С4. Дана трапеция ABCD, основания которой ВС = 44, AD = 100, AB = CD =35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK. G L

G L

ТЕОРЕМА 3. Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. r a = ptg, r b = ptg, r c = ptg Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ). А В С Оа Оа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

ТЕОРЕМА 4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. r a =, r b =, r c = Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) S = S ABC = S AOaC + S BOaC – S BOaC = × (b + c – a) = r a × (p – a) r a = А В С Оа Оа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

ТЕОРЕМА 5. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности. r a + r b + r c = r + 4R Доказательство: r =, R =, r a =, r b =, r c = r a + r b + r c – r = = = = = = 4R

ТЕОРЕМА 6. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: r =, r a =, r b =, r c =

ТЕОРЕМА 7. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, r a r b + r b r c + r c r a = p 2 Доказательство: r a =, r b =, r c =

ТЕОРЕМА 8. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника. r a r b r c = rp 2 Доказательство: r a =, r b =, r c =,

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: r a r b r c = rp 2 = rp × p = Sp.

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство:

Решение:

ТЕОРЕМА 9. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. Доказательство:,

C4. Периметр, радиус вписанной и радиус описанной окружности треугольника равны соответственно 24, 2 и 5. Найти стороны треугольника и радиусы вневписанных окружностей Решение:

Задача. Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что СК=ВL=(a+b-c)/2 Решение: В С О p p В1В1 С1С1 b c А G M N К L