Прямая а параллельна. Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ; б) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости. в) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости ; Прямая а параллельна. Сколько прямых, лежащих в,параллельны а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в ? Прямая а пересекает. Лежит ли в хоть одна прямая, параллельная а?

Как прямая может располагаться относительно плоскости в пространстве?

Прямая относительно плоскости Прямая принадлежит плоскости Прямая параллельна плоскости Прямая пересекает плоскость

а) верно, прямая а не пересекает ни одной прямой, лежащей в плоскости. b а а b б) да, в плоскости найдется прямая параллельная а в) нет, так как прямые могут быть скрещивающимися.

В бесконечно много прямых, параллельных а. а Прямые, параллельные а, параллельны друг другу.

a A В плоскости нет прямых, параллельных а.

Прямая параллельна плоскости. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. а а задача

Прямая принадлежит плоскости Прямая принадлежит плоскости, если каждая её точка принадлежит плоскости. а задача

Прямая пересекает плоскость Прямая пересекает плоскость, если имеет с ней единственную точку. а А задача

Пусть аb, a, b имеет с плоскостью общую точку. Докажите, что прямая b принадлежит плоскости. Каким методом можем воспользоваться для доказательства? По определению Используя теорему От противного

От противного: Пусть b, Тогда, что мы можем сказать о взаимном расположении прямой b и плоскости ? b b b b

Каково взаимное расположение прямой а и плоскости ? а а а b a b a b a

а Такой вывод мы можем сделать на основании леммы: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. То есть, а, что противоречит условию задачи: а Полученное противоречие говорит нам, что предположение b, сделанное в начале решения задачи неверно, тогда верно утверждение, что b. Что и требовалось доказать.

Пусть аb, a, b имеет с плоскостью общую точку. Докажите, что прямая b принадлежит плоскости.

b Каким методом можем воспользоваться для доказательства? Пусть b Используя теорему От противного а а а По определению b Противоречие с условием: а

Доказательство: П1) Пусть b, тогда b в точке А (по условию) 2) а b (по условию), тогда а, что противоречит условию задачи. Следовательно, b. Что и требовалось доказать. b а Дано: a b а O, O b Доказать: b

Плоскости и пересекаются по прямой AB.Прямая а параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой AB. Используя теорему От противного По определению

Какие теоремы мы уже знаем, которые могли бы пригодиться при доказательстве? Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Через любую точку пространства проходит прямая, параллельная данной и притом, только одна. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Во всех формулировках теорем фигурируют две параллельные прямые, а у нас только одна. Для того, чтобы воспользоваться какой-либо теоремой, нужно провести, прямую b, параллельную АВ. Как должна пройти эта прямая? b или b b, или b b, b a А В b a А В b a А В b

Плоскости и пересекаются по прямой AB.Прямая а параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой AB.

Проведем прямую b следующим образом: а b, и b так, что A b, следовательно, b Что мы можем сказать о взаимном расположении прямой b и плоскости ? b b b a А В b a А В b a А В b

Получим, что b, b, следовательно, b принадлежит пересечению плоскостей и, то есть, совпадает с прямой АВ. Что и требовалось доказать. b a А В

1)Д.п. проведем b (ba, A b). 2)Так как a, a, аb, то по утверждению 2 п.6., b. 3)b, b, следовательно, =b То есть, прямая b совпала с прямой АВ. Что и требовалось доказать. b a А В

Докажите, что, если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку. Будем решать задачу, рассматривая случаи взаимного расположения прямых пересечения плоскостей.

Обозначим плоскости И пусть 1 2 =a, 2 3 =b, 1 3 =c. Рассмотрим 3 случая взаимного расположения прямых a, b, c. Ни какие 2 не пересекаются. Какие-то 2 Пересекаются В точке М. Какие-то 2 прямые Совпадают. Таким, образом

Но тогда они параллельны т.к. а и b лежат в одной полуплоскости, а значит ab. Аналогично bc и ac. Ни какие 2 не пересекаются. b 3 a c 1 2

Пусть это прямые a и b. Значит точка М лежит во всех плоскостях (т. к.M a, следовательно, M 1 и M 2 ; М b, следовательно, M 2, и M 3 ), а тогда прямые b и c также пересекаются в точке М. (Если только b и c не совпадают, но это другой случай.) Какие-то 2 пересекаются в точке М. a b c 1 3 2

Но тогда эти прямые являются пересечением всех трех плоскостей, а значит плоскости проходят через одну прямую, что противоречит условию. Какие-то две прямые совпадают. a 1 3 2

Мы доказали утверждение, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку. Что и требовалось доказать.

1)Обозначим плоскости И пусть 1 2 =a, 2 3 =b, 1 3 =c. Тогда, возможны 3 случая: 1. a b, a c, b c. Тогда, т.к. a,b 2 и a b, то ab b,c 3 и b c, то bc Тогда по теореме о параллельности трех прямых в пространстве, прямые a, b и c – параллельны между собой. 2. a b=М, a, b и с не совпадают. Тогда 1 2 =a, следовательно, М 1, М =b, следовательно, М 2, М 3 То есть, М- точка пересечения плоскостей и только (т.к. прямые a, b и с не совпадают. 3. а и b совпадают, назовем ее прямой х тогда: 1 2 =х, 2 3 =х, значит, 1 3 =х. То есть, все три плоскости проходят через одну прямую, что противоречит условию задачи (три плоскости, не проходящие через одну прямую), следовательно, они не могут пересекаться по прямой. 2) Таким образом, если три плоскости, не проходят через одну прямую и попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны (случай 1), либо имеют общую точку (случай 2). Что и требовалось доказать.

Докажите, что, если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Это тупиковый вариант, подумай почему.