Линейные уравнения (Алгебра – 7 класс)

Равенство между двумя алгебраическими выражениями с одной переменной называют уравнением с одной неизвестной. Корнем уравнения называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называются равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными. Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными. Основные понятия:

Определение: уравнение вида а х = в (где х – переменная, а и в – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной. Отличительная особенность такого уравнения – переменная х входит в уравнение обязательно в первой степени. Отличительная особенность такого уравнения – переменная х входит в уравнение обязательно в первой степени.

Пример 1 Перечисленные уравнения являются линейными, так как имеют вид а х = в: а) 3 х=7 (где а=3, в=7); а) 3 х=7 (где а=3, в=7); б) -2 х=5 (где а=?, в=?); б) -2 х=5 (где а=?, в=?); в) 0 х=-3 (где а=?, в=?); в) 0 х=-3 (где а=?, в=?); г)0 х=0 (где а=?, в=?). г)0 х=0 (где а=?, в=?). Все линейные уравнения приводятся к виду а х = в с помощью тождественных преобразований.

Пример 2 В уравнении 2(3 х-5)=х-3 переменная х входит в первой степени. Поэтому это уравнение является линейным. Приведём это уравнение к стандартному виду. В левой части раскроем скобки: 2 3 х-2 5=х-3 или 6 х-10=х-3. Перенесём слагаемые, содержащие х, в левую часть уравнения; числа – в правую. Приведём подобные слагаемые. Получаем: 6 х-х=10-3 или 5 х=7. Линейное уравнение имеет вид ах=в (где а=5, в=7)

При решении уравнений не забудь следующие свойства: если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.

Пример 3 Перечисленные уравнения не являются линейными: 3 х 2 +6 х+7=0 (так как содержит переменную х во второй степени); 3 х 2 +6 х+7=0 (так как содержит переменную х во второй степени); 2 х 2 -5 х 3 = 3 (объясни сам) 2 х 2 -5 х 3 = 3 (объясни сам) х(х-3)=х 5 (объясни сам) х(х-3)=х 5 (объясни сам)

ах=в а = 0 – один корень а = 0, в = 0 - нет корней а = 0, в = 0 – множество корней При решении уравнения вида ах = в возможны следующие три случая: Х =

Пример 4 Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 (х +3). Приведём это уравнение к стандартному виду. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:2 3 х-2 1=4 х или 6 х - 2= 4 х Слагаемые, зависящие от х, перенесём в левую часть уравнения; числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные: 6 х - 4 х = Приведём подобные слагаемые: 2 х = 14. В этом уравнении а=2 и в=14. Уравнение имеет один корень х = = 7

Пример 5 Решим уравнение 2( 3 х-1)=4 ( х+3) х. Приводим это уравнение к стандартному виду: 6 х -2= 4 х + 12 – х или 6 х - 4 х - 2 х= , или 0 х=0 (где а=0, в=0 ). Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем верное числовое равенство 0=0. Поэтому любое число является корнем этого уравнения (уравнение имеет бесконечно много корней).

Пример 6 Решим уравнение 2 (3 х-1)=4 ( х + 3)+2 х Приводим это уравнение к стандартному виду: 6 х - 2= 4 х х или 6 х - 4 х-2 х= 2+12 или 0 х=14 (где а=0, в=14 ). Очевидно, что при подстановке любого значения х получаем неверное числовое равенство 0=14. Поэтому уравнение корней не имеет.

Реши сам! а)5 х-7=-2Ответ:х=?; б) 2(3 х-1)+4=7 х+5 б) 2(3 х-1)+4=7 х+5 Ответ:х=? Ответ:х=? в)3 х-(10+5 х)=54 в)3 х-(10+5 х)=54 Ответ:х=? Ответ:х=? г) 0,5(4-2 х)=х-1,8 г) 0,5(4-2 х)=х-1,8 Ответ:х=? Ответ:х=?

а)5x=-2+7 5x=5 5x=5 х=1 Ответ:х=1 х=1 Ответ:х=1 б) 6 х-2+4=7 х+5 б) 6 х-2+4=7 х+5 6 х-7 х= х-7 х= х=3 -х=3 х=-3 Ответ:х=-3 х=-3 Ответ:х=-3 в)3 х-10-5 х=54 в)3 х-10-5 х=54 -2 х= х= х=64 -2 х=64 х=64:(-2) х=64:(-2) х=-32 Ответ:х=-32 х=-32 Ответ:х=-32 г) 2-х=х-1,8 г) 2-х=х-1,8 -х-х=-1,8-2 -х-х=-1, х=-3,8 -2 х=-3,8 х=1,9 Ответ: х=1,9 х=1,9 Ответ: х=1,9