ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ «СИЛА» МГГУ – 2008 КАФЕДРА «Теоретическая и прикладная механика» Лектор – доктор технических наук, профессор АЛЮШИН Юрий Алексеевич

ОБЩЕПРИНЯТОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ Обычно в учебной литературе ограничиваются формулировкой «СИЛА - мера МЕХАНИЧЕСКОГО взаимодействия материальных тел», иногда добавляя «с векторными свойствами». Как правило, при этом ссылаются на второй закон Ньютона («основной закон инерции»), что не совсем корректно, так как закон не определяет понятия, а дает связь между понятиями(в данном случае между тремя: F = ma). Формулировка Лагранжа «Силы - это причины, которые приводят или стремятся привести тело в движение» не даёт способа их измерения. «Сила является основным, первичным понятием, не выражающимся через другие понятия» (стр. 161, Никитин Н.Н., Курс теоретической механики, М.: Высш. Шк., 2003.) Отсутствие четкого понятия «сила» затрудняет понимание физического или механического смысла явлений, связанных с движением и деформацией.

В общем случае движения состояние произвольной частицы сплошной среды характеризуют 12 независимых кинематических инвариантов (Ji, i=1…12), в том числе 2 модуля векторов перемещения и скорости, по 3 инварианта тензора деформации и тензора скорости деформации Лагранжа, а также 4 интегральных по времени инварианта: путь как интеграл от модуля вектора скорости по времени и 3 (интегральных по времени) от 3-х инвариантов тензора скорости деформации. Обобщенная мера движения Знание даже всех 12 инвариантов не позволяет прогнозировать поведение произвольной механической системы на произвольные внешние воздействия или внутренние изменения, пока не будет найден способ, как привести их к одному обобщенному, естественно скалярному, показателю. Такие соображения еще во времена Аристотеля привели в появлению термина «энергия», которая рассматривалась именно как обобщенная скалярная, а следовательно инвариантная, мера различных характеристик движения. (1) где ki (i=1…12) – скалярные коэффициенты, используемые для согласования размерностей составляющих «энергии» для различных инвариантов.

Обобщенная скалярная функция движения Для большинства задач общую энергию, являющуюся функцией всех 12 инвариантов, можно рассматривать как сумму составляющих энергии, каждая из которых зависит только от одного инварианта Уравнения движения в форме Лагранжа (2) где, - переменные Эйлера и Лагранжа, соответственно, t - время ().

Обобщенный закон движения Составляющие обобщенной функции, в частности энергии, должны иметь единую размерность. Переход от кинематических инвариантов, имеющих разные размерности, к новой «обобщенной мере» может быть проведен за счет скалярных множителей – коэффициентов, характеризующих физические свойства среды, в которой происходит движение, или механические свойства взаимодействующих материальных тел. Обобщенная скалярная, а следовательно инвариантная, мера различных видов движения была введена еще во времена Аристотеля и названа «энергией». По Аристотелю обобщенная мера движения должна оставаться постоянной Закон сохранения энергии - наиболее общий закон, отражающий изменения и особенности при движении механических систем. Он неоднократно «открывали» и «подтверждали» для различных взаимодействий, не только механических. Все другие известные формулировки обобщенного закона движения можно рассматривать как частные случая и следствия закона сохранения энергии. С этим также согласуется известный «принцип А. Пуанкаре» о существовании некоторой обобщенной скалярной функции, которая в процессе движения должна оставаться постоянной.

ПЕРЕХОД К ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ СИЛЫ Некорректность термина «сила» можно исключить, если распространить понятие «обобщенных сил» как меры приращения работы действующих на систему сил на приращениях кинематических координат (q j ) на различные виды энергии (E i ) Переход к определению понятия «сила» через соотношение (1) требует конкретизации понятия «энергия», не прибегая к традиционным ее определениям через соответствующие силы. При этом предпочтительно использовать только инвариантные кинематические функции движения материальной точки, абсолютно твердого тела или сплошной среды, математическая и логическая строгость которых не вызывают сомнения. (1)

Определение «взаимодействия» механических систем Логическим основанием для утверждения о достаточности кинематических инвариантов при описании любых явлений, связанных с движением, может быть предположение, которое обычно не упоминается и считается само собой разумеющимся, что в механике рассматриваются только такие воздействия, которые отражаются на уравнениях движения, а следовательно и на их инвариантах. Тогда, с другой стороны, можно утверждать, что уравнения движения и их инварианты несут информацию, необходимую для характеристики всех внешних воздействий и внутренних изменений, происходивших в среде в процессе движения. Среди различных видов энергии, связанных с движением, могут быть и такие, которые зависят от истории движения, например, энергия диссипативных процессов, связанных с трением или необратимой пластической деформацией. Тогда в качестве аргументов уравнений движения целесообразно принимать переменные Лагранжа, например координаты частиц в их исходном состоянии или любые функции, однозначно связанные с этими координатами.

Энергетические коэффициенты при кинематических инвариантах движения Соотношение между этими множителями можно найти, рассматривая движения, когда изменяются соответствующие виды энергии. Например, соотношение между коэффициентами при векторе перемещения и квадрате вектора скорости для потенциальной энергии в гравитационном поле Земли и кинетической энергии движения можно определить, рассматривая свободное падение тела. В частности, если ориентировать ось «z» по направлению гравитационного поля (к Земле), тогда для приращений потенциальной E p и кинетической E k энергии следует записать (нижний индекс t при обозначениях координат соответствует дифференцированию по времени),

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВИЖЕНИЯ Основываясь на кинематических инвариантах движения, можно постулировать 12 независимых видов энергии, из которых в настоящее время обычно используют лишь 6 (кинетическая, потенциальная, упругой деформации объема и формы, диссипативная энергия трения или пластической деформации), а для абсолютно твердых тел – 2: кинетическая и потенциальная. Виды энергии, связанные с интегральными по времени инвариантами уравнений движения (путь, накопленная деформация и пр.), могут использоваться, например, в линейной механике разрушения, или как критерии оптимальности процессов с учетом деформации, например на основе сравнения длин пути и вектора перемещения или «накопленной деформации» и «интенсивности деформаций Коши». Инварианты, содержание вторые производные по времени от координат, т.е. компоненты ускорений, не рассматриваются, так как, в соответствии с основным постулатом механики, поведение частиц определяется только их положением и скоростями. Ускорения должны определяться общими законами движения и могут быть разрывными функциями без ограничений на виды разрыва.

Обобщенные силы в механике деформируемого и абсолютно твердого тела Для приращения каждого вида энергии можно предложить несколько вариантов представления правой части уравнения (1). В частности, для кинетической энергии бесконечно малой частицы с массой m кинематическими координатами могут быть ее эйлеровы координаты x i или скорости x i,t, а также и непосредственно квадрат скорости В частности, при движении вдоль оси z для приращения кинетической энергии можно записать В каждом из этих случаев в качестве обобщенных сил будут выступать масса с постоянным коэффициентом ½, произведения массы на ускорение (ньютоновы силы) или на скорость (количество движения).

Локальные и интегральные силы Учитывая, что различные виды энергии могут быть определены не только как локальные функции для бесконечно малых частиц механической системы, но и как интегральные для макро объемов системы или, например, абсолютно жестких тел в целом, предлагаемый подход предусматривает деление обобщенных сил на локальные и интегральные, например приведенные к кинематическим характеристикам центров масс системы или других точек. Каждую из сил Q ij следует конкретизировать как по виду энергии, приращение которой она определяет, так и по типу обобщенной кинематической координаты, множителем при которой она является при записи уравнения (1), возможно с дополнительным указанием на локальный или интегральный (по объему или времени) ее характер. Основной особенностью обобщенных сил в соответствии с предлагаемым подходом является расширение их многообразия.

Обобщенные силы для абсолютно твердых тел Для абсолютно твердых тел интегральными по объему будут не только компоненты сил, равные произведению общей массы тела на ускорение центра масс или любой другой точки, используемой в качестве полюса, но еще и момент пар сил, равный произведению момента инерции тела относительно центральных осей на угловое ускорение вращательного движения тела

Количества движения Компоненты векторов количества движения могут характеризовать только часть энергии, расходуемой на поступательное движение абсолютно твердого тела. В общем случае они должны быть дополнены совокупностью других сил, по аналогии с «парами сил», с размерностью [кг*м 2/с 2*=Н*м=кг*м 2/с 2] для расчета энергии вращательного движения на приращениях угла поворота, как в уравнении (2), или новым «обобщенным моментом» с размерностью [кг*м 2/с=Н*м*с] при расчете энергии вращательного движения на приращениях угловых скоростей

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ Так как скорости и ускорения всех частиц каждого звена механизма известны, кинетическую энергию и скорость ее изменения для каждого из звеньев находим по уравнениям Изменение потенциальной энергии положения Приращение энергии внешних воздействий

Мощности кинетической и потенциальной энергии Скорость изменения кинетической энергии Мощность потенциальной энергии Мощность внешних воздействий

Приведение обобщенных сил и пар сил к новому полюсу (центру) при плоскопараллельном движении (на примере шатуна) Исходное энергетическое тождество В D C T Запись тождества через обобщенные силы по типу:

Приведение обобщенных сил и пар сил к новому полюсу (центру) при плоскопараллельном движении (на примере шатуна). Продолжение. Преобразуем скорости точек С, D и Т в правой части энергетического тождества к скоростям нового полюса – точки В - в соответствии с уравнениями ;, В результате получаем

Обобщенные силы, приведенные к оси шарнира В Полученные соотношения совпадают с общепринятыми при преобразовании сил к новому центру ; Приравнивая множители при одинаковых компонентах скоростей точки В и угловой скорости вращения звена, получим значения обобщенных сил (компоненты главного вектора сил и главного момента):

Обобщенные силы на коромысле Исходное энергетическое тождество Запись тождества через обобщенные силы : С учетом кинематических соотношений ;.

Обобщенные силы, приведенные к оси шарнира D = ;. Окончательный результат

Обобщенные силы на ползуне W e = ;. Исходное энергетическое тождество Так как скорости всех точек на ползуне одинаковы, получаем

Обобщенные силы на кривошипе Исходное энергетическое тождество Запись тождества через обобщенные силы (сосредоточенные силы на неподвижной опоре не производят мощности): С учетом кинематических соотношений на кривошипе

Преобразование моментов на осях шарниров к парам сил Исходная система уравнений Система, записанная через проекции сил и скоростей Решение системы

Пересчет моментов на осях шарниров и кулисных парах Так как угловые скорости смежных звеньев отличаются, из условия равенства энергетических потоков, вычисленных через угловые скорости каждого из звеньев, получаем На кулисных парах имеет место относительное поступательное перемещение, меняются линейные скорости, поэтому требуется пересчет компонент главного вектора сил при сохранении энергетического баланса

Практические методы расчета обобщенных сил По аналогии с приращением кинетической энергии Для приращения энергии внешних воздействий (работы внешних сил) В практических расчетах удобнее пользоваться не приращением энергии, а скоростью их изменения (мощности)