Линии второго порядка

Линии, задаваемые на координатной плоскости уравнениями второго порядка, называются фигурами второго порядка. К ним относятся эллипс, парабола, гипербола, окружность. Уравнение второго порядка: Окружность Эллипс Гипербола Парабола

Окружность Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности. Каноническое уравнение окружности: Уравнению удовлетворяют координаты любой точки данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, лежащей все окружности. Если центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение примет вид:

Пример Нарисовать кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим Итак, центр окружности --, радиус равен 2

Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Каноническое уравнение эллипса: Сделаем некоторые замечания о форме эллипса. Из канонического уравнения понятно, что оси координат Ох и Оу являются осями симметрии эллипса и, следовательно, начало координат является центром симметрии эллипса.

Эксцентриситет эллипса: Эксцентриситет – это отношение фокусного расстояния к длине большей оси эллипса. Две прямые называются директрисами эллипса.

Пример Построить кривую Найти фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 36. Получаем уравнение Это -- каноническое уравнение эллипса, а=3, b=2. Находим, Фокусы --,, эксцентриситет --

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная. Каноническое уравнение гиперболы: Число а называют действительной полуосью гиперболы, Число b - мнимой полуосью. Эксцентриситет:

Эксцентриситет гиперболы: Две прямые называют директрисами гиперболы. Директрисы гиперболы параллельны оси Оу и пересекают ось Ох между вершинами гиперболы.

Пример Построить гиперболу, найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение: a=1, b=2. Проводим асимптоты. Получаем. Тогда фокусы --

Парабола Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы. Общее уравнение параболы:

Если для эллипса и гиперболы обозначим через r расстояние от текущей точки кривой до какого-либо фокуса, а через d - расстояние от этой точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то оказывается, что Для параболы же, что следует из ее определения.

Таким образом, для рассмотренных кривых второго порядка эллипса, гиперболы, параболы имеет место фокально- директориальное свойство: Отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т.е.

Пример Постройте параболу. Найти директрису. Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, 2p=3, p=1,5. Осью параболы служит ось Ox, вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси Ox. Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному y и находим значения x. Возьмем точки (1/3;1), (4/3;1), (3;3). Фокус F лежит на оси Ox на расстоянии p/2 от вершины, то есть имеет координаты (0,75;0). Директриса l имеет уравнение, то есть x= -0,75.