Введение Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-то другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, астрономии или мостостроению. Дело в том, что в любой серьезной книге по математике присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я докажу тебе математически», встречающиеся в русской классической литературе, призваны продемонстрировать доказательство, которое нельзя оспорить.

Всем известно высказывание Платона: «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» Оно наталкивает нас на мысль, что математическое доказательство способствует развитию логического, абстрактного и эвристического мышления, формирует интеллект и ораторское искусство, а значит, формировать навыки доказательства нужно как можно раньше. Платон (428 или 427 до нашей эры 348 или 347) древнегреческий философ, ученик Сократа.

Глава I. Способы математического доказательства 1.1. Дедуктивные способы доказательства Дедукция (лат. deductio - выведение) - в широком смысле слова - такая форма мышления, когда частное положение выводится логическим путем из общих. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы или гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и её следствия. Дедукция основное средство доказательства. Дедуктивные умозаключения с психолого-педагогической точки зрения играют огромную роль и являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Рассмотрим основные способы математического доказательства.

Доказательство дедуктивным способом предполагает применение логических схем: 1)А(х)=>В(х), А(а) правило заключения В(а) 2)А(х)=>В(х),¬ В(а) правило отрицания ¬А(а) 3)А(х)=>В(х), В(х)=>С(х) правило силлогизма А(х)=>С(х)

1.2. Индуктивные способы доказательства Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления. Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе. Различают полную индукцию метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции.

Математическая индукция один из методов математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 шаг индукции, или индукционный переход. Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

1.3. Способ доказательства по аналогии Аналогия – это умозаключение о принадлежности предмету определенного признака на основе сходства в признаках с другим предметом. Лишь умозаключения по аналогии дают возможность людям делать открытия новых свойств неизученных объектов на основании их аналогии с ранее изученными, т.е. происходит переход от изученного множества объектов к новому, исследуемому. Так, обратив внимание на аналогию между принципом действия нервной системы и цифровых вычислительных устройств, Норберт Винер начал свои исследования в области конструирования логических машин.

Аналогия - это обще учебное умение переносить знания с одного предмета на другой в аналогичных заданиях. Знания математики по аналогии переносятся на все другие науки. Поэтому математику называют и царицей, и служанкой всех наук. В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Процесс умозаключений по аналогии можно осуществить поэтапно: I этап – операция сравнения объектов с целью установления сходства и (или) различия; II этап – перенос свойств с оригинала (прототипа) на модель (образ).

Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета. Примечание. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значения, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами (два или более). В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов" Принцип Дирихле

1.5. Метод от противного Этот метод доказательства основан на логическом приеме апагогии, когда несостоятельность какого-нибудь мнения доказывается таким образом, что или в нём самом, или же в следствиях, из него вытекающих, мы открываем противоречие. Метод от противного предполагает несколько этапов доказательства: 1. Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать. 2. В ходе рассуждения приходим к противоречию с ранее изученной аксиомой, теоремой или условием задачи. 3. Отрицаем предположение как неверное 4. По закону исключенного третьего делаем вывод. Суть его легко объяснить на простейших бытовых примерах: третье не существует, т. е., кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается.

1.6. Разделительный метод Разделительное доказательство, так же как и метод от противного, является косвенным, то есть, основано на установлении несостоятельности антитезиса. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя, это приведет к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области. Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.

Глава I I. Пропедевтические задания для младших школьников, обучающие способам математического доказательства Обучаем дедуктивным способам доказательства Дедуктивным умозаключениям следует обучать при изучении любой темы или раздела. Приведем в пример стройность рассуждений при изучении темы «Делимость натуральных чисел» Правило заключения: Если запись числа оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Запись числа 80 оканчивается цифрой 0, => оно делится на 10. Правило отрицания: Если сумма цифр в записи числа делится на 3, то и само число делится на не делится на 3, => сумма цифр в записи числа 86 не делится на 3. Правило силлогизма: Если число делится на 12, то оно делится на 6. Если число делится на 6, то оно делится на 3, => если число делится на 12, то оно делится на 3.

Примеры заданий 1. Игра «Бельчонок». Доведи белочку до запасов. На пути вам будут встречаться уравнения. Двигаться можно только по дорожкам, где ответ будет 20. х+4=24 х·4=8053-х=33 х:4=5 х:2=10 х-2=18 х:6=5 х+11=31 х+7=20 х-7=20 х:1=191·х=20

2. Работа над задачей. Описание ситуации, представленной в задаче (нарисовать "картинку"), моделирование ситуации с помощью краткой записи; Объяснение готового решения задачи; Закончить решение задачи; Решение задачи разными способами; Самостоятельное составление задач учащимися - используя слова: больше на, столько, меньше в, какую часть; - решаемую в 1, 2, 3 действия; - по данному ее плану решения, действиям и ответу; - по выражению. Решение задач неопределенных и переопределенных; Изменение вопроса задачи; Составление различных выражений по данным задачи и объяснение, что означает то или иное выражение, выбрать те выражения, которые являются решением задачи; Использование приема сравнения задач и их решений; Запись двух решений на доске - одного верного и другого неверного; Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием; Составление аналогичной задачи с измененными данными; Решение обратных задач.

2.2. Обучаем индуктивным способам доказательства Неполная индукция может быть использована при изучении коммутативного закона сложения и умножения, равенств 0+а=а, 1·а = а, а:1=а, 0·а=0 и других закономерностей. 1. Пример задания. Замени произведение суммой и найди значение выражения: 1·3; 1·5 1·7. Найди значение выражения 1·30, не заменяя его суммой. Полная индукция: 1. Пример задания. Установи истинность высказывания: Каждое натуральное чётное число n, удовлетворяющее условию 4 n 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для решения рассмотрим все четные числа отрезка и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Математическая индукция 1. Пример задания. Доказать, что …+(2n-1)=n 2. Решение: 1) Имеем n=1=1 2. Следовательно, утверждение верно при n=1. 2) Предположим, утверждение верно при n = k, т.е …+(2k-1)=k 2. 3)Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что …+(2k+1)=(k+1) 2. В самом деле,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2. На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение истинно для любого n.

1.3 Обучаем способу доказательства по аналогии При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между величинами и единицами их измерения. 1. Пример задания: Заполни строки правого столбца. Площадь Объем Определение: часть плоскости, ограниченная фигурой Определение: число, которое показывает, сколько раз квадрат, принятый за единицу измерения, укладывается в фигуре. Свойство: равные фигуры имеют равные площади Свойство: если фигура разбита на части, не имеющие общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей ее частей Свойство: площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна квадратной единице.

2.4. Обучаем решать задачи с помощью принципа Дирихле 1 пример задания: Имеется 25 конфет 3 сортов. Верно ли, что не менее 9 из них будут какого-то одного сорта? Решение: Пусть конфет каждого сорта менее 9, то есть не превышает восьми. Тогда всего конфет не больше 3 × 8 = 24, а по условию их 25. Противоречие. Предположение неверно, следовательно конфет одного сорта не менее 9. 2 пример задания: В классе 30 человек. Паша сделал 13 ошибок, а остальные меньше. Доказать, что какие-то три ученика сделали одинаковое количество ошибок. Решение: По условию задачи, наибольшее число ошибок, сделанных в работе 13. Значит, ученики могли сделать 0, 1, 2,..., 13 ошибок. Эти варианты будут «клетками», а ученики станут «кроликами». Тогда по принципу Дирихле имеем 14 клеток и 30 зайцев, то есть, найдутся три ученика, попавших в одну «клетку», то есть сделавших одинаковое число ошибок.

2.5. Обучаем использовать метод от противного 1 пример задания: Сформулируйте утверждения, противоположные данным Утверждение Один из вариантов формулировки противоположного утверждения Все крокодилы не летают Существует крокодил, который не летает. Коля никогда не выезжал из родного города. Коля хотя бы раз выезжал из родного города. В Москве более жителей.В Москве не более жителей. Сумма двух чисел всегда меньше их произведения. Существуют два числа, сумма которых больше или равна их произведения Вася каждый день делает зарядку.Вася не каждый день делает зарядку Кто – нибудь заметит: «А ведь клоуны правы» Никто не заметит: «А ведь клоуны правы» Все знает он.Он чего – то не знает Все Васи – блондины.Некоторые Васи не блондины.

2 пример задания: Докажите, что нельзя расставить 9 ладей на доске 8 х 8 так, чтобы они не били друг друга. Решение: Предположим, можно так расставить 9 ладей. Поскольку они не бьют друг друга, ка каждой вертикали стоит не более одной ладьи. Но вертикалей всего 8, а значит, и ладей не более 8. Получили противоречие. Значит, так расставить 9 ладей нельзя.

2.6. Обучаем использовать разделительный метод Двум мудрецам показали три колпака: белый и два черных. После этого им завязали глаза, надели два из этих колпаков на головы и разрешили снять повязки. Каждый мудрец видит колпак, который надели на другого мудреца, но не видит свой. На вопрос «Какого цвета ваш колпак?» мудрецы хором ответили «Я не могу определить цвет своего колпака.» Какого цвета были их колпаки? Ответ: На обоих мудрецах черные колпаки. 1 пример задания: