Приложения производной Алгебра и начала математического анализа 10 класс ГБОУ СОШ 1716 Учитель Егорова Г.В.

Содержание Геометрический смысл производной Приближённые вычисления Критические точки Исследование функции на монотонность Исследование функции на экстремумы Полное исследование функции и построение графика Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

k = f (x o ) = tg α – Геометрический смысл производной k = f (x o ) = tg α – Геометрический смысл производной f(x o ) к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х о ; f(x о )) и имеющая угловой коэффициент f(х о ). х у хо-хо y = kx + b α α y = f(x) 0

Геометрический смысл производной f( x o )=К>0 tgα>0 – касательная составляет острый угол с положительным направлением ОХ, функция возрастает. f( x o )= К<0 tgα <0 – касательная составляет тупой угол с положительным направлением ОХ, функция убывает f( x o )= К=0 tgα=0 – касательная в точке x o параллельна ОХ, функция в этой точке имеет максимум или минимум

y = f (x o )(x – x o ) + f(x o ) 1 о Находим значение функции в точке х о : f(x o ). 2 о Дифференцируем функцию: f(x). 3 о Находим значение производной в точке х о : f(x o ). 4 о Подставляем эти данные в общее уравнения касательной: y = f(x o )(x – x o ) + f(x o ).

f(x) f(x o ) + f (x o )x (1) 1 + x (2) (1 + x) n 1 + nx (3)

Критические точки Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или не существует точки экстремума-f( xo )=0 и производная меняет знак при переходе через данную точку с «-» на «+» точка минимума с «+» на «-» точка максимума производная при переходе через данную точку не меняет знака точка перегиба

1) Если f(x) > 0 внутри промежутка I, то функция f возрастает на этом промежутке. 2) Если f(x) < 0 внутри промежутка I, то функция f убывает на этом промежутке. 3) Если f(x) = 0 внутри промежутка I, то функция f постоянна на этом промежутке. Примеры: 1 о f(x) = 3x 3 + 4x f (x) = 9x > 0 f(x) возрастает при х R 2 о f(x) = – 2x 5 – 6x f (x) = – 10x 4 – 6 < 0 f(x) убывает при х R 3 о f(x) = 12 f (x) = 0 f(x) постоянна при х R

xoxo Точка х о называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о, что для всех х х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x o ). Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то х о – точка локального максимума функции f(x). f(x) + + – – x max f(x о ) – максимум функции

f(x) xoxo Точка х о называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о, что для всех х х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x o ). Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то х о – точка локального минимума функции f(x). f(x) – – + + x min f(x о ) – минимум функции

1 о Дифференцируем функцию: f(x). 2 о Находим критические точки из уравнения: f(x) = 0. 3 о Решаем неравенства: f(x) > 0 и f(x) < 0. 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) Промежутки возрастания: (– ; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ]. б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ). f(x) x2x2 – – + + x + + – – x1x1 x3x3

1 о Дифференцируем функцию: f(x). 2 о Находим критические точки из уравнения: f(x) = 0. 3 о Решаем неравенства: f(x) > 0 и f(x) < 0. 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ); f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. f(x) x2x2 – – + + x + + – – x1x1 x3x3

1. Находим область определения функции D(f) и множество ее значений Е(f). 2. Определяем четность (нечетность), периодичность функции. 3. Находим точки пересечения с осями координат из условий: (0; f(0)) и f(x)= 0. x 01 ; x 02 ; x 03 ; … 4. Находим промежутки знакопостоянства, решая неравенства f(x) > 0 и f(x) < Дифференцируем функцию: f(x). 6. Находим критические точки из уравнения: f(x) = 0.

f(x) x2x2 – – + + x + + – – x1x1 x3x3 7. Решаем неравенства: f(x) > 0 и f(x) < Полученные данные изображаем на схеме: 9. Указываем промежутки монотонности функции а) промежутки возрастания: (– ; х 1 ]; [x 2 ; x 3 ]; б) промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ]; [x 3 ; + ).

10. Определяем точки экстремума и сами экстремумы функции: a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ); f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. 11. Изображаем все полученные данные в системе координат, строим график функции y = f(x).

x1x1 x1x1 x2x2 x2x2 x3x3 x3x3 x у 0 f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 3 ) f(0) x 01 x 02 x 04 x 03 х 01 ; x 02 ; x 03 ; x 04 ; f(0) – точки пересечения с осями (х 1 ; f(x 1 )); (х 2 ; f(x 2 )); (х 3 ; f(x 3 )) – точки экстремумов Через данные точки проводим плавную кривую

1 о Выясняем существование функции на данном отрезке [a; b]. 2 о Дифференцируем функцию: f(x). 3 о Находим критические точки из уравнения: f(x) = 0. 4 о Отбираем те точки, которые принадлежат заданному промежутку [a; b]. 5 о Находим значение функции в этих точках и на концах промежутка: f(a); f(b); f(x 1 ); f(x 2 ); и т. д. 6 о Выбираем среди полученных значений наибольшее или наименьшее.