Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме: Презентация "Применение производной к исследованию и построению графика функции"
Advertisements

Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н. Преподаватель: Французова Г.Н.
Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство.
Что называется функцией? Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует единственное значение переменной У, то такое.
Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. Цейтен Г. Г.
Применения производной к исследованию функций Применения производной к исследованию функций.
Приложения производной Алгебра и начала математического анализа 10 класс ГБОУ СОШ 1716 Учитель Егорова Г.В.
Применение производной для исследования функций. 1. Нахождение промежутков возрастания функции. 2. Нахождение промежутков убывания функции. 3. Нахождение.
Материал к уроку. В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума. Л.Эйлер.
Выполнил студент группы 1 ис 11-3 Лутфуллин Руслан.
Амиргамзаев Ю.Г., учитель математики МКОУ «ЩаринскаяСОШ » с.Щара Лакский район РД.
Схема исследования: Область определения Множество значений Нули функции Интервалы знакопостоянства Промежутки монотонности Точки экстремума Набольшее.
Экстремумы функций Применение производной к нахождению экстремумов функции.
Мы продолжаем изучать тему «Производная функции» Мы познакомимся с применением производной для исследования свойств функции Желаю успехов в изучении темы!
Презентация к уроку «Свойства функций» Галушка Ирина Ивановна учитель математики ГБОУ СПО «Псковский политехнический колледж»
Тема урока: применение производной к исследованию функции Цели учебного занятия: Сегодня нам с вами нужно повторить опорные понятия, определения и теоремы.
§9. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на.
Свойства функций. Схема исследования: Область определения Множество значений Нули функции Интервалы знакопостоянства Промежутки монотонности Точки экстремума.
Интерактивная технология в преподавании курса математики в ОУ СПО Юдина Наталья Анатольевна, преподаватель высшей категории ФГОУ СПО «Петуховский техникум.
Функции Понятие функции Способы задания функции Нули функции Область положительности и область отрицательности функции Возрастание и убывание функции Экстремумы.
Транксрипт:

Урок-лекция «Применение производной к исследованию и построению графиков функций»

Цель урока: научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков х у

Математический диктант Вариант 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x )=… Вариант 2. 1.C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n )=… Вариант 1. 1.(Cu)=Cu 2.(u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x )=e x Вариант 2. 1.C=0 2.(uv)=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4. ctg x=-1/sin² x 5.(x n )=n*x n-1

Классная работа Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.

Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

возрастающая убывающая возрастающая возрастающая и убывающая на интервалах

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале. Теорема 1.

Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает). Теорема 2.

1. Находим область определения функции f(x). 2. Вычисляем производную f(x) данной функции. 3. Находим точки, в которых f(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). 4. Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности. 5. Исследуем знак f(x) на каждом интервале. Если f(x)0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f(x)0, то на таком интервале функция f(x) убывает. Правило нахождения интервалов монотонности

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную : y=6x²-6x Находим критические точки: y=0. x²-x-6=0 Д=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;-2]υ[3;+), функция убывает при xϵ[-2;3]. Пример 1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную : y=3x²-6x. 3. Находим критические точки: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 и x2=2 4. Делим область определения на интервалы: 5. Функция возрастает при xϵ(-;0]υ[2;+), функция убывает при xϵ[0;2]. Пример 2. Найти промежутки монотонности функции y=x³-3x²

Точку x=x 0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0 ). Точку x=x 0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)f(x 0 ).

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x=x 0, то в этой точке производная функции или равна нулю, или не существует. Теорема 3.

Если производная f(x) при переходе через точку x 0 меняет знак, то точка x 0 является точкой экстремума функции f(x). Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума Теорема 4.

1. Область определения: R. Функция непрерывна. 2. Вычисляем производную : y=-6x²-6x Находим критические точки: y=0. -x²-x+2=0 Д=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1 =1; x 2 =-2 4. Делим область определения на интервалы: 5.x=-2 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =-24. x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции: y max =3. Пример 3. Найти экстремумы функции y=-2x³-3x²+12x

Работа на уроке: Исследовать на экстремум функцию y=x Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 +2)=2x. 3. Приравниваем её к нулю: 2x=0, откуда x=0 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=0 – точка минимума. Найдём минимум функции y min =

Исследовать на экстремум функцию y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Приравниваем её к нулю: x 2 -4x+3=0, откуда x 1 =1, x 2 =3 – критические точки. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1 – точка максимума. Найдём максимум функции y max =7/3. x=3 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =

Исследовать на экстремум функцию y=x 3 +3x 2 +9x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Приравниваем её к нулю: 3x 2 +6x+9=0, откуда D<0. То есть критических точек не существует. 4.Однако, функция возрастает на всей D(y), так как y=3x 2 +6x+9 >0:

Исследовать на экстремум функцию y=x 2 -x-6. Решение: 1. Находим область определения функции: D(y)=R. 2. Находим производную: y=(x 2 -x-6)=2x Приравниваем её к нулю: 2x-1=0, откуда x=1/2 – критическая точка. 4. Делим область определения на интервалы и определяем знаки производной на каждом интервале: 5.x=1/2 – точка минимума. Найдём минимум функции: y min =-6, /2