Производн ая Производн ая

Содержание 1. Понятие производной.Понятие производной. 2. Алгоритм нахождения производной.Алгоритм нахождения производной. 3.Примеры.Примеры. 4. Таблица производных.Таблица производных. 5. Физический смысл производной.Физический смысл производной. 6. Правила нахождения производных.Правила нахождения производных. 7. Непрерывность функции.Непрерывность функции. 8. Геометрический смысл производной.

Понятие производной Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f (x) = lim f x x 0 Нахождение производной называют дифференцированием

1. Зафиксировать значение х 0, найти f(x 0 ). 2. Дать аргументу х 0 приращение х, перейти в новую точку х 0 + х, найти f(x 0 + х). 3. Найти приращение функции: f = f(x 0 + х) – f(x 0 ). 4. Составить отношение. 5. Вычислить lim. 6. Этот предел и есть f (x 0 ). Алгоритм нахождения производной f х f х x0

Физический ( механический ) смысл производной Если при прямолинейном движении путь s, пройденный точкой, есть функция от времени t, т.е. s = s(t), то скорость точки есть производная от пути по времени, т.е. v(t) = s (t). Производная выражает мгновенную скорость в момент времени t.

Таблица производных f (x) C0x1/(2x) kx + bktg x1/cos 2 x x2x2 2xctg x– 1/sin 2 x xnxn nx n–1 аrcsin x 1/x– 1/x 2 arccos x sin xcos xarctgx cos x– sin xarcctg x

Правила нахождения производной 1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u + v) = u + v 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С u(x) также имеет в этой точке производную, причем (Сu) = Сu

Правила нахождения производной 3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) v(x) также имеет в этой точке производную, причем (u v) = uv + uv 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) 1 v 2v 2 v = –= – v 1 ( )

Правила нахождения производной 5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2v 2 uv – uv = ( ) v u

Производная сложной функции ( f ( g(x) ) ) = f ( g(x) ) g(x) Примеры: 1. ( (5x – 3) 3 ) = 3(5x – 3) 2 (5x – 3) = = 3(5x – 3) 2 5 = 15(5x – 3) 2 2. ( sin(4x + 8) ) = cos(4x + 8)(4x + 8) = = cos(4x + 8)4 = 4 cos(4x + 8)

Если функция имеет производную (дифференцируема) в точке х, то она непрерывна в этой точке.