Комплексные числа МАОУ «Гимназия 1» Пермь, 2014 Медведева Людмила Петровна, учитель математики

Комплексные числа Комплексные числа и действия над ними Комплексная плоскость Модуль и аргумент комплексного числа Сопряжённые числа Тригонометрическая форма записи комплексного числа Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел

NZ Q R C

Определение комплексного числа Комплексное число – выражение вида z = a + bi, где а и b – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица – число, квадрат которого считается равным минус единице: i 2 = -1.

Части комплексного числа z = a + bi Действительная часть Мнимая часть Re zIm z

Арифметические действия над комплексными числами Арифметические действия над комплексными числами выполняются, исходя из следующих условий: они производятся как действия над обычными буквенными выражениями, но с учетом того, что i 2 = ­ 1. Комплексные числа z 1 = a + bi и z 2 = c + di называются равными тогда и только тогда, когда а = с, в = d.

Правило сложения (a +bi) + (с+di) = a + bi + c + di= = (a + c) + (b + d) i Например: (4 + 6i) + (7 + 19i) = 11+25i. Найдите сумму комплексных чисел: 1) z 1 = 4 + 5i и z 2 = i; 2) z 1 = 3 и z 2 = 4i; 3) z 1 = 8 + 2i и z 2 = 5 + 8i

Правило вычитания комплексных чисел (a + bi) - (c + di) = a + bi - c – di = = (a - c) + (b - d) i Например: (8 + 5i) - (1 + i) = 7 + 4i. Найдите разность комплексных чисел: 1) z 1 = 9 + 7i; z 2 = 3 + 2i; 2) z 1 = i; z 2 = 2 + 4i; 3) z 1 = 4 + 5i; z 2 = i;

Умножение комплексных чисел (a + bi) · (c + di) = ac + bic + adi + bidi = ас + всi + adi+ bdi 2 = ac + bci + adi – bd = = (ac - bd) + (bc + ad)i Например:(4 + 4i)·(3 + 2i) = i. Найдите произведение комплексных чисел: 1) z 1 = 9 + 7i; z 2 = 3 + 2i; 2) z 1 = i; z 2 = 2 + 4i; 3) z 1 = 4 + 5i; z 2 = i;

Деление комплексных чисел

Комплексная плоскость Комплексные числа, как и действительные, допускают простую геометрическую интерпретацию, если вместо координатной прямой использовать координатную плоскость: действительная ось мнимая ось х у а b а+bi

Геометрическое изображение комплексных чисел Точка А (a; b) изображает комплексное число z x у i b а А (а; b)

Сложение и вычитание комплексных чисел на плоскости x y w z z + w O Точка z + w получается сложением векторов по правилу параллелограмма

Определение модуля и аргумента комплексного числа Определение: Пусть точка А, отличная от О, изображает комплексное число z. Тогда расстояние |ОА| называется модулем числа z. Угол (или его величину) между положительным направлением оси абсцисс и вектором ОА, измеренным против часовой стрелки, называют главным аргументом числа z. О А х у

Нахождение модуля и аргумента заданного комплексного числа Модуль числа z = a + bi есть длина гипотенузы прямоугольного ОАК, с катетами длины |a| и |b|, поэтому |z| = |OA| = Оx y Z arg z

Сопряженные числа Определение: сопряженным к комплексному числу z = a + bi называется число a - bi. Число, сопряженное к числу z обозначается Cопряженные числа расположены на плоскости симметрично относительно оси абсцисс. а + bi а - bi х у

Тригонометрическая форма записи комплексного числа Всякое комплексное число z, отличное от 0, может быть записано в виде z = r (cos α+i sin α), где r - модуль, а α - один из аргументов числа z. Этот способ записи комплексного числа и называется его представлением в тригонометрической форме. С помощью этой формы можно наглядно истолковать умножение и деление комплексных чисел.

Умножение и деление комплексных чисел на плоскости Пусть комплексные числа z и w заданы в тригонометрической форме: z = r (cos α + i sin α), w = s (cos β + i sin β). Найдём их произведение: zw = rs (cos α+i sinα)(cos β+i sing)= = rs ((cos α cos β – sin α sin β) + i (sin α cos β + cos α sin β)) = rs (cos(α+β)+ i sin(α+β)).

Умножение и деление комплексных чисел на плоскости Пусть комплексные числа z и w заданы в тригонометрической форме: z = r (cos α + i sin α), w = s (cos β + i sin β). Найдем частное: Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются, при делении наоборот: модули делятся, а аргументы вычитаются.

Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел

Словарь Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Действительные числа Комплексные числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа